Cohomology of Drinfeld symmetric spaces and Harmonic cochains

Aït Amrane, Yacine

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 3, pp. 561-597.

Soit $K$ un corps local non-archimédien. Ce papier donne un isomorphisme explicite entre le dual de la représentation spéciale de $G{L}_{n+1}\left(K\right)$ et l’espace des cocycles harmoniques définis sur l’immeuble de Bruhat-Tits de $G{L}_{n+1}\left(K\right)$, au sens de E. de Shalit [11]. Nous déduisons, en appliquant les résultats d’un papier de P. Schneider et U. Stuhler [9], qu’il existe un isomorphisme $G{L}_{n+1}\left(K\right)$-équivariant entre le groupe de cohomologie de l’espace symétrique de Drinfeld et l’espace des cocycles harmoniques.

Let $K$ be a non-archimedean local field. This paper gives an explicit isomorphism between the dual of the special representation of $G{L}_{n+1}\left(K\right)$ and the space of harmonic cochains defined on the Bruhat-Tits building of $G{L}_{n+1}\left(K\right)$, in the sense of E. de Shalit [11]. We deduce, applying the results of a paper of P. Schneider and U. Stuhler [9], that there exists a $G{L}_{n+1}\left(K\right)$-equivariant isomorphism between the cohomology group of the Drinfeld symmetric space and the space of harmonic cochains.

Classification : 22E50, 20E42
Keywords: Drinfeld symmetric spaces, cohomology, Bruhat-Tits buildings, harmonic cochains, special representations
Mot clés : espaces symmétriques de Drinfeld, cohomologie, immeubles de Bruhat-Tits, cocycles harmoniques, représentations spéciales

[1] Aït Amrane, Y. Cohomologie des espaces symétriques de Drinfeld, cocycles harmoniques et formes automorphes, University of Toulouse 3 (2003) (Ph. D. Thesis)

[2] Aït Amrane, Y. Cohomologie des espaces symétriques de Drinfeld et cocycles harmoniques, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 338 (2004), pp. 191-196 | MR | Zbl

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