Feuilletages singuliers de codimension un, groupoïde de Galois et intégrales premières

Casale, Guy

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 3, pp. 735-779.

Dans cet article, nous étudions le groupoïde de Galois d’un germe de feuilletage holomorphe de codimension un. Nous associons à ce $𝒟$-groupoïde de Lie un invariant biméromorphe  : le rang transverse. Nous étudions en détails les relations entre cet invariant, l’existence de suites de Godbillon-Vey particulières et l’existence d’une intégrale première dans une extension fortement normale du corps différentiel des germes de fonctions méromorphes. Nous obtenons ainsi une généralisation d’un théorème de M. Singer sur l’existence d’intégrales premières Liouvilliennes à une classe plus large de transcendantes. L’étude des singularités réduites permet de caractériser le rang transverse sur les invariants de Martinet-Ramis et donne une preuve galoisienne des résultats de Berthier-Touzet.

In this article the Galois groupoid of a germ of codimension one holomorphic foliation is investigated. We define a bimeromorphic invariant of this Lie $𝒟$-groupoid: the transversal rank. Relations between this invariant, existence of special Godbillon-Vey sequences and existence of first integral in a strongly normal extension of the differential field of germs of meromorphic functions are studied. A theorem of M. Singer on Liouvillian first integral is generalized to a larger class of transcendental functions. For reduced singularities, the transversal rank is characterized by Martinet-Ramis invariants and it gives a galoisian proof of results of Berthier-Touzet.

Classification : 12H05, 37F75, 53C10, 34M15
Mot clés : feuilletage, groupoïde de Galois, structure géométrique transverse
Keywords: Foliation, Galois groupoid, transversal geometric structure

[1] Berthier, M.; Touzet, F. Sur l’intégration des équations différentielles holomorphes réduites en dimension 2, Boletim da Soc. Bra. Mat., Volume 30 (1999) no. 3, pp. 247-286 | DOI | MR | Zbl

[2] Buium, A. Differential function fields and moduli of algebraic varieties, Lecture Notes in Mathematics, 1226, Springer-Verlag, 1986 | MR | Zbl

[3] Buium, A. Differential algebra and diophantine geometry, Actualités Mathématiques, Hermann, 1994 | MR | Zbl

[4] Casale, G. Suites de Godbillon-Vey et intégrales premières, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 335 (2002), pp. 1003-1006 | MR | Zbl

[5] Casale, G. $𝒟$-enveloppe d’un difféomorphisme de $(ℂ,0)$, Proceedings of the conference « Resurgence, Alien Calculus, Resummability, Transseries » (6), Volume 13, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (2004) no. 4 | Numdam | Zbl

[6] Cerveau, D.; Lins Neto, A.; Loray, F.; Pereira, J.-V.; Touzet, F. Algebraic Reduction Theorem for complex codimension one singular foliations (http ://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0406/0406293.pdf) | Zbl

[7] Drach, J. Éssai sur une théorie générale de l’intégration et sur la classification des transcendantes, Ann. Sci. Écoles Normale Sup. (3) (1898), pp. 243-384 | EuDML | JFM | Numdam | MR

[8] Drach, J. Sur le problème logique de l’intégration des équations différentielles, Ann. Fac. Sci. de l’Université de Toulouse, Volume 10 (1908), pp. 393-472 | DOI | EuDML | JFM | Numdam | MR

[9] Dumitrescu, S. Structures géométriques holomorphes sur les variétés complexes compactes, Ann. Sci. Écoles Normale Sup. 4e série, Volume 34 (2001), pp. 557-571 | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[10] Écalle, J. Les fonctions résurgentes, 1 et 2, Publication mathématiques d’Orsay, 1981 | Zbl

[11] Eisenbud, D. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Text in Mathematics, Volume 150, Springer-Verlag, 1995 | MR | Zbl

[12] Frisch, J. Points de platitude d’un morphisme d’espaces analytiques complexes, Invent. Math., Volume 4 (1967), pp. 118-138 | DOI | MR | Zbl

[13] Godbillon, C. Feuilletage. Études géométriques, Progress in Mathematics, 98, 1991 | MR | Zbl

[14] Godbillon, C.; Vey, J. Un invariant des feuilletages de codimension un, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 273 (1971), p. A92-A95 | MR | Zbl

[15] Gromov, M. Rigid transformation groups, Géométrie Différentielle, Tavaux en cours, 33, Hermann, 1988 | Zbl

[16] Ilyashenko, Y. S. Divergence of series that reduce an analytic differential equation to linear normal form at a singular point, Funktsional. Anal. i Prilozhen., Volume 13 (1979) no. 3, pp. 87-88 (Russian) | MR | Zbl

[17] Kolchin, E. R. Differential Algebra and Algebraic Groups, Pure and Applied Mathematics, 54, Academic Press, 1973 | MR | Zbl

[18] Kovacic, J. J. The differential Galois theory of strongly normal extensions, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 355 (2003), pp. 4475-4522 | DOI | MR | Zbl

[19] Kumpera, A.; Spencer, D. Lie Equations, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1972 (Annals of Mathematics Studies, No. 73) | MR | Zbl

[20] Malgrange, B. Travaux d’Écalle et de Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques, Bourbaki Seminar, Vol. 1981/1982 (Astérisque), Volume 92, Soc. Math. France, Paris, 1982 | Numdam | MR | Zbl

[21] Malgrange, B. L’involutivité générique des systèmes différentiels analytiques, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 326 (1998) no. 7, pp. 863-866 | DOI | MR | Zbl

[22] Malgrange, B. Germes de $𝒟$-groupoïdes en dimension un (2000) (notes informelles)

[23] Malgrange, B. Le groupoïde de Galois d’un feuilletage, Essays on geometry and related topics, Vol. 1, 2 (Monogr. Enseign. Math.), Volume 38, Enseignement Math., Geneva, 2001, pp. 465-501 | Zbl

[24] Malgrange, B. On nonlinear differential Galois theory, Chinese Ann. Math. Ser. B, Volume 23 (2002) no. 2, pp. 219-226 (Dedicated to the memory of Jacques-Louis Lions) | DOI | MR | Zbl

[25] Malgrange, B. Systèmes différentiels involutifs, Panoramas et Synthèses, Volume 19, Soc. Math. France, 2005 | MR | Zbl

[26] Martinet, J.; Ramis, J.-P. Problèmes de modules pour les équations différentielles non linéaires du premier ordre, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., Volume 55 (1982), pp. 63-164 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[27] Martinet, J.; Ramis, J.-P. Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre., Ann. Sci. École Normale Sup., Volume 16 (1983) no. 4, pp. 571-621 | Numdam | MR | Zbl

[28] Scàrdua, B. A. Transversely affine and transversely projective holomorphic foliations, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 30 (1997) no. 2, pp. 169-204 | Numdam | MR | Zbl

[29] Seidenberg, A. Reduction of singularities of the differential equation $Ady=Bdx$, Amer. J. Math., Volume 90 (1968), pp. 248-269 | DOI | MR | Zbl

[30] Singer, M. Liouvillian first integral of differential equations, Trans. A. M. S., Volume 333 (1992) no. 2, pp. 673-688 | DOI | MR | Zbl

[31] Tougeron, J.-C. Idéaux de fonctions différentiables, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 71, Springer-Verlag, Berlin, 1972 | MR | Zbl

[32] Touzet, F. Sur les feuilletages holomorphes transversalement projectifs, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, Volume 53 (2003) no. 3, pp. 815-846 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[33] Vessiot, E. Sur une théorie générale de la réductibilité des équations et systèmes d’équations finies ou différentielles, Ann. Sci. École Normale Sup., Volume 63 (1946), pp. 1-22 | Numdam | MR | Zbl

[34] Vessiot, E. Sur la réductibilité des équations aux dérivées partielles du $1^{\mathrm{er}}$ ordre, à une inconnue, qui ne la contiennent pas et sont linéaires et homogènes par rapport à ses dérivées, Bull. Soc. Math. France, Volume 75 (1947), pp. 9-26 | Numdam | MR | Zbl