Suites partiellement récurrentes (applications à la répartition modulo 1 et aux propriétés arithmétiques des fonctions analytiques)

Rauzy, Gérard

Annales de l'Institut Fourier, Tome 16 (1966) no. 1, pp. 159-234.

À tout ensemble d’entiers positifs, on attache un nombre $\ge 1$, éventuellement infini nommé fréquence de cet ensemble et mesurant la longueur relative des tranches d’entiers consécutifs de cet ensemble. La notion de fréquence présente peu de rapport avec celle de densité et par exemple un ensemble et son complémentaire peuvent être tous deux de fréquence infinie.

Les deux principaux résultats sont alors les suivants :

1.- Soit $\theta >1$ algébrique. La condition nécessaire et suffisante pour qu’existe un ensemble $J$ de fréquence infinie et un nombre réel $\lambda \ne 0$ tels que :

$${\overline{\lim }}_{n\in J}\parallel \lambda {\theta }^n\parallel =0$$

(où $\parallel x\parallel =|x-k|$, $k$ étant l’entier le plus voisin de $x$) est que $\theta$ soit un entier algébrique dont tous les conjugués sont à l’intérieur ou sur le cercle unité.

2.- Soit $f$ une fonction entière de type exponentiel telle que :

$${\overline{\lim }}_{\left|z\right|\to \infty }\frac{1}{\left|x\right|}\mathrm{Log}\left|f\left(z\right)\right|<\mathrm{Log}2,$$

si $f\left(n\right)$ est entier quand $n$ parcourt un ensemble de fréquence infinie, alors $f$ est un polynôme.

Le premier résultat donne une caractérisation commune des nombres de Pisot et de Salem. Sa réciproque délicate à établir dans le dernier cas montre en outre que l’on peut toujours construire un ensemble $J$ tel que l’ensemble des $\lambda$ correspondants ait la puissance du continu, bien que de mesure de Lebesgue nulle. Si $\theta$ est un nombre de Salem, une application presque directe du théorème de Roth montre en outre que les $\lambda$ en question sont transcendants.

[1] L. Bieberbach, Analytische Fortsetzung, Springer Verlag (1955), 69, ch. 3. | Zbl

[2] E. Borel, Sur une application d'un théorème de M. Hadamard, Bull. Sci. math. (2), 18, (1894), 22-25. | JFM

[3] S. Lang, Diophantine Geometry, Interscience publishers, ch. 6, 91-119. | Zbl

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[5] C. Pisot, La répartition modulo 1 et les nombres algébriques, Ann. Sc. Norm. Sup., Pisa, série 2, t. 7 (1938), 205-248. | EuDML | JFM | Numdam | Zbl

[6] C. Pisot, Sur les fonctions analytiques arithmétiques à croissance exponentielle, C. R. Acad. Sci., Paris, 222 (1946), 988-990. | MR | Zbl

[7] G. Polya, Ueber ganze ganzwertige Funktionen, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math. Phys. Kl. (1920), 1-10. | EuDML | JFM

[8] G. Polya, Ueber gewisse notwendige Determinantenkriterien für die Fortsetzbarkeit einer Potenzreihe, Math. Annal., 99 (1928), 687-706. | EuDML | JFM

[9] G. Rauzy, Répartition modulo 1 pour des suites partielles d'entiers-développements en série de Taylor donnés sur des suites partielles, C. R., 258 (1964), 4881-4884. | MR | Zbl

[10] G. Rauzy, Relations de récurrence mod. m., Séminaire Delange Pisot, Théorie des nombres (1963). | Numdam | Zbl

[11] R. Salem, Power series with integral coefficients, Duke Math. journal (1945), 153-172. | MR | Zbl

[12] R. Salem, Algebraic numbers and Fourier analysis, H.M.M., Boston (1961), 32.