Suites partiellement récurrentes (applications à la répartition modulo 1 et aux propriétés arithmétiques des fonctions analytiques)
Annales de l'Institut Fourier, Volume 16 (1966) no. 1, pp. 159-234.

À tout ensemble d’entiers positifs, on attache un nombre 1, éventuellement infini nommé fréquence de cet ensemble et mesurant la longueur relative des tranches d’entiers consécutifs de cet ensemble. La notion de fréquence présente peu de rapport avec celle de densité et par exemple un ensemble et son complémentaire peuvent être tous deux de fréquence infinie.

Les deux principaux résultats sont alors les suivants :

1.- Soit θ>1 algébrique. La condition nécessaire et suffisante pour qu’existe un ensemble J de fréquence infinie et un nombre réel λ0 tels que :

lim ¯nJλθn=0

(où x=|x-k|, k étant l’entier le plus voisin de x) est que θ soit un entier algébrique dont tous les conjugués sont à l’intérieur ou sur le cercle unité.

2.- Soit f une fonction entière de type exponentiel telle que :

lim ¯|z|1|x| Log |f(z)|< Log 2,

si f(n) est entier quand n parcourt un ensemble de fréquence infinie, alors f est un polynôme.

Le premier résultat donne une caractérisation commune des nombres de Pisot et de Salem. Sa réciproque délicate à établir dans le dernier cas montre en outre que l’on peut toujours construire un ensemble J tel que l’ensemble des λ correspondants ait la puissance du continu, bien que de mesure de Lebesgue nulle. Si θ est un nombre de Salem, une application presque directe du théorème de Roth montre en outre que les λ en question sont transcendants.

@article{AIF_1966__16_1_159_0,
     author = {Rauzy, G\'erard},
     title = {Suites partiellement r\'ecurrentes (applications \`a la r\'epartition modulo 1 et aux propri\'et\'es arithm\'etiques des fonctions analytiques)},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {159--234},
     publisher = {Institut Fourier},
     volume = {16},
     number = {1},
     year = {1966},
     doi = {10.5802/aif.230},
     zbl = {0151.04501},
     mrnumber = {34 #161},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.230/}
}
TY  - JOUR
AU  - Rauzy, Gérard
TI  - Suites partiellement récurrentes (applications à la répartition modulo 1 et aux propriétés arithmétiques des fonctions analytiques)
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1966
DA  - 1966///
SP  - 159
EP  - 234
VL  - 16
IS  - 1
PB  - Institut Fourier
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.230/
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A0151.04501
UR  - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=34 #161
UR  - https://doi.org/10.5802/aif.230
DO  - 10.5802/aif.230
LA  - fr
ID  - AIF_1966__16_1_159_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Rauzy, Gérard
%T Suites partiellement récurrentes (applications à la répartition modulo 1 et aux propriétés arithmétiques des fonctions analytiques)
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1966
%P 159-234
%V 16
%N 1
%I Institut Fourier
%U https://doi.org/10.5802/aif.230
%R 10.5802/aif.230
%G fr
%F AIF_1966__16_1_159_0
Rauzy, Gérard. Suites partiellement récurrentes (applications à la répartition modulo 1 et aux propriétés arithmétiques des fonctions analytiques). Annales de l'Institut Fourier, Volume 16 (1966) no. 1, pp. 159-234. doi : 10.5802/aif.230. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.230/

[1] L. Bieberbach, Analytische Fortsetzung, Springer Verlag (1955), 69, ch. 3. | Zbl

[2] E. Borel, Sur une application d'un théorème de M. Hadamard, Bull. Sci. math. (2), 18, (1894), 22-25. | JFM

[3] S. Lang, Diophantine Geometry, Interscience publishers, ch. 6, 91-119. | Zbl

[4] A. Ostrowski, On the representation of analytic functions by power series, J. London Math. Soc. (1), (1926), 251-263. | JFM

[5] C. Pisot, La répartition modulo 1 et les nombres algébriques, Ann. Sc. Norm. Sup., Pisa, série 2, t. 7 (1938), 205-248. | EuDML | JFM | Numdam | Zbl

[6] C. Pisot, Sur les fonctions analytiques arithmétiques à croissance exponentielle, C. R. Acad. Sci., Paris, 222 (1946), 988-990. | MR | Zbl

[7] G. Polya, Ueber ganze ganzwertige Funktionen, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math. Phys. Kl. (1920), 1-10. | EuDML | JFM

[8] G. Polya, Ueber gewisse notwendige Determinantenkriterien für die Fortsetzbarkeit einer Potenzreihe, Math. Annal., 99 (1928), 687-706. | EuDML | JFM

[9] G. Rauzy, Répartition modulo 1 pour des suites partielles d'entiers-développements en série de Taylor donnés sur des suites partielles, C. R., 258 (1964), 4881-4884. | MR | Zbl

[10] G. Rauzy, Relations de récurrence mod. m., Séminaire Delange Pisot, Théorie des nombres (1963). | Numdam | Zbl

[11] R. Salem, Power series with integral coefficients, Duke Math. journal (1945), 153-172. | MR | Zbl

[12] R. Salem, Algebraic numbers and Fourier analysis, H.M.M., Boston (1961), 32.

Cited by Sources: