Let be a real. In this paper, we study piecewise class circle homeomorphisms with irrational rotation numbers. We give characterizations for such homeomorphisms that are piecewise conjugate to diffeomorphisms. As a consequence, we obtain a criterion of piecewise conjugacy to diophantine rotations. This characterization extends those obtained by Liousse for the circle homeomorphisms and by Dzhalilov for the piecewise class circle homeomorphisms with rotation numbers of constant type. We also show that every abelian subgroup of piecewise class circle homeomorphism which contains at least two elements with rotation numbers irrational and rationally independent, is piecewise conjugate to a subgroup of diffeomorphisms. An analogous to a recent result of Fayad and Khanin, is obtained concerning (resp. ) conjugacy for piecewise class (resp. ) commuting homeomorphisms of the circle.
Soit un réel. Ici, on étudie les homéomorphismes du cercle qui sont de classe par morceaux et de nombres de rotation irrationnels. On caractérise ceux qui sont par morceaux conjugués à des -difféomorphismes. Comme conséquence, on obtient un critère de conjugaison par morceaux aux rotations diophantiennes. Cette caractérisation étend celles obtenues par Liousse pour les homéomorphismes affines par morceaux du cercle et par Dzhalilov pour les homéomorphismes de classe de nombres de rotation de type constant. On montre aussi que tout sous-groupe d’homéomorphismes de classe par morceaux qui est abélien et qui contient au moins deux éléments de nombres de rotation irrationnels et rationnellement indépendants est par morceaux conjugué à un sous-groupe de -difféomorphismes. On en déduit un résultat de conjugaison (resp. ) pour les homéomorphismes de classe (resp. ) par morceaux commutants qui est l’analogue du récent résultat de Fayad et Khanin.
Mot clés : homéomorphisme de classe $P$ $C^{r}$ par morceaux, condition de Hölder, nombre de rotation, conjugaison, point de coupure, point singulier, saut, mesure invariante, mesure équivalente, mesure singulière
Keywords: Piecewise class $P$ $C^{r}$ homeomorphism of the circle, Hölder condition, rotation number, conjugacy, break point, singular point, jump, invariant measure, equivalent measure, singular measure
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Adouani, Abdelhamid; Marzougui, Habib. Sur les homéomorphismes du cercle de classe $P$ $C^{r}$ par morceaux ($r\ge 1$) qui sont conjugués $C^{r}$ par morceaux aux rotations irrationnelles. Annales de l'Institut Fourier, Volume 58 (2008) no. 3, pp. 755-775. doi : 10.5802/aif.2368. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2368/
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