Sur les homéomorphismes du cercle de classe P C r par morceaux (r1) qui sont conjugués C r par morceaux aux rotations irrationnelles
Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 3, pp. 755-775.

Soit r1 un réel. Ici, on étudie les homéomorphismes du cercle qui sont de classe P C r par morceaux et de nombres de rotation irrationnels. On caractérise ceux qui sont C r par morceaux conjugués à des C r -difféomorphismes. Comme conséquence, on obtient un critère de conjugaison C 1 par morceaux aux rotations diophantiennes. Cette caractérisation étend celles obtenues par Liousse pour les homéomorphismes affines par morceaux du cercle et par Dzhalilov pour les homéomorphismes de classe P de nombres de rotation de type constant. On montre aussi que tout sous-groupe d’homéomorphismes de classe P C r par morceaux qui est abélien et qui contient au moins deux éléments de nombres de rotation irrationnels et rationnellement indépendants est C r par morceaux conjugué à un sous-groupe de C r -difféomorphismes. On en déduit un résultat de conjugaison C (resp. C ω ) pour les homéomorphismes de classe P C (resp. C ω ) par morceaux commutants qui est l’analogue du récent résultat de Fayad et Khanin.

Let r1 be a real. In this paper, we study piecewise class P C r circle homeomorphisms with irrational rotation numbers. We give characterizations for such homeomorphisms that are piecewise C r conjugate to C r diffeomorphisms. As a consequence, we obtain a criterion of piecewise C r conjugacy to diophantine rotations. This characterization extends those obtained by Liousse for the PL circle homeomorphisms and by Dzhalilov for the piecewise class P circle homeomorphisms with rotation numbers of constant type. We also show that every abelian subgroup of piecewise class P C r circle homeomorphism which contains at least two elements with rotation numbers irrational and rationally independent, is piecewise C r conjugate to a subgroup of C r diffeomorphisms. An analogous to a recent result of Fayad and Khanin, is obtained concerning C (resp. C ω ) conjugacy for piecewise class P C (resp. C ω ) commuting homeomorphisms of the circle.

DOI : 10.5802/aif.2368
Classification : 37C15, 37E10
Mot clés : homéomorphisme de classe $P$ $C^{r}$ par morceaux, condition de Hölder, nombre de rotation, conjugaison, point de coupure, point singulier, saut, mesure invariante, mesure équivalente, mesure singulière
Keywords: Piecewise class $P$ $C^{r}$ homeomorphism of the circle, Hölder condition, rotation number, conjugacy, break point, singular point, jump, invariant measure, equivalent measure, singular measure
Adouani, Abdelhamid 1 ; Marzougui, Habib 2

1 Inst. Prép. étud. Ingén. Bizerte 7021, Zarzouna (Tunisia)
2 Faculty of Sciences of Bizerte Department of Mathematics 7021, Zarzouna (Tunisia)
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[1] Adouani, A.; Marzougui, H. Conjugacy of Piecewise C 1 -Homeomorphisms of class P of the circle (https ://hal.ccsd.cnrs.fr/ccsd-00007995v3)

[2] Denjoy, A. Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore, J. Math. Pures Appl., Volume 11 (1932), pp. 333-375 | Numdam | Zbl

[3] Dzhalilov, A.; Khanin, K. M. On invariant measure for homeomorphisms of a circle with a break point, Functional Analysis and its Applications, Volume 32 (1998) no. 3, pp. 153-161 | DOI | MR | Zbl

[4] Dzhalilov, A. A. Piecewise smoothness of conjugate homeomorphisms of a circle with corners, Theoretical and Mathematical Physics, Volume 120 (1999) no. 2, pp. 961-972 | DOI | MR | Zbl

[5] Dzhalilov, A. A.; Liousse, I. Circle homeomorphisms with two break points, Nonlinearity, Volume 19 (2006), pp. 1951-1968 | DOI | MR

[6] Fayad, B.; Khanin, K. Smooth linearization of commuting circle diffeomorphisms ArXiv : math. DS/0605214 v1(2006)

[7] Katznelson, Y. Sigma-finite invariant measures for smooth mappings of the circle, J. Analyse Math., Volume 31 (1977), pp. 1-18 | DOI | MR | Zbl

[8] Katznelson, Y.; Ornstein, D. The absolute continuity of the conjugation of certain diffeomorphisms of the circle, Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 9 (1989) no. 4, pp. 681-690 | DOI | MR | Zbl

[9] Katznelson, Y.; Ornstein, D. The differentiability of the conjugation of certain diffeomorphisms of the circle, Ergod.Th. and Dynam.Sys., Volume 9 (1989) no. 4, pp. 643-680 | MR | Zbl

[10] Khanin, K. M.; Sinaĭ, Ya. G. Smoothness of conjugacies of diffeomorphisms of the circle with rotations, Russian Math. Surveys, Volume 44 (1989) no. 1, pp. 69-99 | DOI | MR | Zbl

[11] Liousse, I. Nombres de rotation dans les groupes de Thompson généralisé, automorphismes (https ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00004554)

[12] Liousse, I. Nombre de rotation, mesures invariantes et ratio set des homéomorphismes affines par morceaux du cercle, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, Volume 55 (2005) no. 2, pp. 1001-1052 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[13] Liousse, I. PL Homeomorphisms of the circle which are piecewise C 1 conjugate to irrational rotations, Bull Braz Math Soc, New Series, Volume 35 (2005) no. 2, pp. 269-280 | DOI | MR

[14] Minakawa, H. Classification of exotic circles of PL + (S 1 ), Hokkaido Math. J., Volume 26 (1997) no. 3, pp. 685-697 | MR | Zbl

[15] Moser, J. On commuting circle mapping and simultaneous Diophantine approximations, Math. Z., Volume 205 (1990), pp. 105-121 | DOI | MR | Zbl

[16] Poincaré, H. Oeuvres complètes, 1885 (t.1, 137–158)

[17] Stark, J. Smooth conjugacy and renormalisation for diffeomorphisms of the circle, Nonlinearity, Volume 1 (1988) no. 4, pp. 541-575 | DOI | MR | Zbl

[18] Yoccoz, J.-C. Il n’ y a pas de contre-exemple de Denjoy analytique, C.R.A.S., Volume 298 (1984) no. 7, pp. 141-144 (série I) | Zbl

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