Inverse spectral results on even dimensional tori
[Résultats spectraux inverses sur les tores de dimension paire]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 7, pp. 2445-2501.

À un fibré en droites hermitien sur un tore plat M, une connexion sur L et une fonction Q sur M, on associe un opérateur de Schrödinger agissant sur les sections de L ; on note Spec(Q;L,) son spectre. À la suite du travail de V. Guillemin en dimension deux, on considère des fibrés en droites complexes au dessus de tores de dimension paire quelconque ainsi qu’une connexion «  invariante par translation  » fixée et on se demande dans quelle mesure Spec(Q;L,) détermine le potentiel Q. Sous une condition générique, on montre que le spectre détermine la partie paire du potentiel, à condition que la connexion soit invariante par l’isométrie du tore définie par l’application x-x. En dimension deux, on obtient également des informations sur sa partie impaire. On obtient des contre-exemples qui montrent que la condition générique utilisée est nécessaire même dans le cas des tores de dimension deux. Ces exemples montrent aussi que le spectre du laplacien défini par une connexion sur un fibré en droites sur un tore plat ne détermine ni la classe d’isométrie du tore ni la classe de Chern du fibré.

En dimension quelconque, on montre que la collection de tous les spectres Spec(Q;L,), lorsque parcourt l’ensemble des connexions invariantes, détermine le potentiel de manière unique. Cette collection de spectres est une généralisation naturelle aux fibrés en droites du spectre classique de Bloch sur le tore.

Given a Hermitian line bundle L over a flat torus M, a connection on L, and a function Q on M, one associates a Schrödinger operator acting on sections of L; its spectrum is denoted Spec(Q;L,). Motivated by work of V. Guillemin in dimension two, we consider line bundles over tori of arbitrary even dimension with “translation invariant” connections , and we address the extent to which the spectrum Spec(Q;L,) determines the potential Q. With a genericity condition, we show that if the connection is invariant under the isometry of M defined by the map x-x, then the spectrum determines the even part of the potential. In dimension two, we also obtain information about the odd part of the potential. We obtain counterexamples showing that the genericity condition is needed even in the case of two-dimensional tori. Examples also show that the spectrum of the Laplacian defined by a connection on a line bundle over a flat torus determines neither the isometry class of the torus nor the Chern class of the line bundle.

In arbitrary dimensions, we show that the collection of all the spectra Spec(Q;L,), as ranges over the translation invariant connections, uniquely determines the potential. This collection of spectra is a natural generalization to line bundles of the classical Bloch spectrum of the torus.

DOI : 10.5802/aif.2420
Classification : 58J50, 58J53
Keywords: Schrödinger operator, spectrum, line bundles over tori
Mot clés : opérateur de Schrödinger, spectre, droites complexes au dessus de tores
Gordon, Carolyn S. 1 ; Guerini, Pierre 2 ; Kappeler, Thomas 3 ; Webb, David L. 1

1 Dartmouth College Department of Mathematics 6188 Kemeny Hall Hanover, NH 03755-3551 (USA)
2 CPGE Dumont d’Urville 83056 Toulon cedex (France)
3 Institut für Mathematik Universität Zürich-Irchel Winterthurerstrasse 190 8057 Zürich (Switzerland)
@article{AIF_2008__58_7_2445_0,
     author = {Gordon, Carolyn S. and Guerini, Pierre and Kappeler, Thomas and Webb, David L.},
     title = {Inverse spectral results on even dimensional tori},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {2445--2501},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {58},
     number = {7},
     year = {2008},
     doi = {10.5802/aif.2420},
     zbl = {1159.58015},
     mrnumber = {2498357},
     language = {en},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2420/}
}
TY  - JOUR
AU  - Gordon, Carolyn S.
AU  - Guerini, Pierre
AU  - Kappeler, Thomas
AU  - Webb, David L.
TI  - Inverse spectral results on even dimensional tori
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2008
SP  - 2445
EP  - 2501
VL  - 58
IS  - 7
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2420/
DO  - 10.5802/aif.2420
LA  - en
ID  - AIF_2008__58_7_2445_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Gordon, Carolyn S.
%A Guerini, Pierre
%A Kappeler, Thomas
%A Webb, David L.
%T Inverse spectral results on even dimensional tori
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2008
%P 2445-2501
%V 58
%N 7
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2420/
%R 10.5802/aif.2420
%G en
%F AIF_2008__58_7_2445_0
Gordon, Carolyn S.; Guerini, Pierre; Kappeler, Thomas; Webb, David L. Inverse spectral results on even dimensional tori. Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 7, pp. 2445-2501. doi : 10.5802/aif.2420. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2420/

[1] Duistermaat, J.; Guillemin, V. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics, Invent. Math., Volume 29 (1975), pp. 39-79 | DOI | MR | Zbl

[2] Dupont, J. L. Curvature and Characteristic Classes, Lecture Notes in Mathematics, 640, Springer-Verlag, 1968 | MR | Zbl

[3] Eskin, G. Inverse spectral problem for the Schrödinger equation with periodic vector potential, Commun. Math. Phys., Volume 125 (1989) no. 2, pp. 263-300 | DOI | MR | Zbl

[4] Eskin, G.; Ralston, J.; Trubowitz, E. On Isospectral Periodic Potentials in n , I, II., Comm. in Pure and Appl. Math., Volume 37 (1984), p. 647-676, 715–753 | DOI | MR | Zbl

[5] Gilkey, P. B. Recursion relations and the asymptotic behavior of the eigenvalues of the Laplacian, Comp. Math., Volume 38 (1978) no. 2, pp. 201-240 | Numdam | MR | Zbl

[6] Gordon, C.; Kappeler, T. On isospectral potentials on tori, Duke Math. J., Volume 63 (1991) no. 1, pp. 217-233 Part II, Comm. in PDE 20 (1995), p. 709-728 | DOI | MR | Zbl

[7] Gordon, C.; Wilson, E. N. The spectrum of the Laplacian on Riemannian Heisenberg manifolds, Mich. Math. J., Volume 33 (1986), pp. 253-271 | DOI | MR | Zbl

[8] Griffiths, P.; Harris, J. Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, 1978 | MR | Zbl

[9] Grigis, A.; Sjöstrand, J. Microlocal Analysis for Differential Operators, Lecture Note Series, 196, London Mathematical Society, Cambridge University Press, 1994 | MR | Zbl

[10] Guillemin, V. Inverse spectral results on two-dimensional tori, J. Am. Math. Soc., Volume 3 (1990) no. 2, pp. 375-387 | DOI | MR | Zbl

[11] Kappeler, T. On isospectral periodic potentials on a discrete lattice II., Adv. in Appl. Math., Volume 9 (1988), pp. 428-438 | DOI | MR | Zbl

[12] Kuchment, P. Floquet theory for partial differential equations, Birkhäuser, 1993 | MR | Zbl

[13] Lax, P. Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems, Duke Math. J., Volume 24 (1957), pp. 624-646 | DOI | MR | Zbl

[14] Palais, R. S.; Stewart, T. E. Torus bundles over a torus, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 12 (1961), pp. 26-29 | DOI | MR | Zbl

[15] Roe, J. Elliptic operators, topology, and asymptotic methods, Research Notes in Mathematics, 395, Pitman, Addison Wesley Longman, 1998 | MR | Zbl

Cité par Sources :