Group Schemes over artinian rings and Applications

Soit $n$ un entier positif et $A^{\prime }$ un anneau de valuation discrète complet de caractéristique zéro avec idéal maximal $𝔪$, indice de ramification absolu $e<p-1$ et corps résiduel parfait $k$ de caractéristique $p>2$. Dans cet article nous classifions les groupes formels lisses $p$-fidèles de dimension finie sur $A_n^{\prime }=A^{\prime }/{𝔪}^n{A}^{\prime }$, i.e. les groupes sur lesquels le morphisme “multiplication par $p$ ” est fidèlement plat, en particulier les groupes $p$-divisibles. Comme application, nous prouvons que les groupes $p$-divisibles sur $k$, et les morphismes entre eux, se relèvent canoniquement à $A^{\prime }/p{A}^{\prime }$, et nous étudions les relèvements en caractéristique zéro de certains groupes $p$-divisibles connexes de dimension $d$ et hauteur $h$ sur $k=\overline{k}$, ou $d$ et $h$ sont étrangers. Quand $e=1$, nous classifions les schémas en groupes finis et plats sur $A^{\prime }/p^2{A}^{\prime }$ d’ordre une puissance de $p$ et nous prouvons que tous les schémas en groupes finis et plats sur $A^{\prime }/p^n{A}^{\prime }$ d’ordre une puissance de $p$, avec $p^i$-torsion plate pour chaque $i\ge 1$, se relèvent à $A^{\prime }$.

Let $n$ be a positive integer and $A^{\prime }$ a complete characteristic zero discrete valuation ring with maximal ideal $𝔪$, absolute ramification index $e<p-1$ and perfect residue field $k$ of characteristic $p>2$. In this paper we classify smooth finite dimensional formal $p$-faithful groups over $A_n^{\prime }=A^{\prime }/{𝔪}^n{A}^{\prime }$, i.e. groups on which the “multiplication by $p$” morphism is faithfully flat, in particular $p$-divisible groups. As applications, we prove that $p$-divisible groups over $k$, and the morphisms between them, lift canonically to $A^{\prime }/p{A}^{\prime }$, and we study liftings to characteristic zero of certain connected $p$-divisible groups of dimension $d$ and height $h$ over $k=\overline{k}$, with $d$ and $h$ coprime. When $e=1$, we classify finite flat group schemes over $A^{\prime }/p^2{A}^{\prime }$ of $p$-power order and prove that a finite flat group scheme over $A^{\prime }/p^n{A}^{\prime }$ of $p$-power order, having flat $p^i$-torsion for every $i\ge 1$, lifts to $A^{\prime }$.

[1] Berthelot, Pierre; Breen, Lawrence; Messing, William Théorie de Dieudonné cristalline. II, Lecture Notes in Mathematics, 930, Springer-Verlag, Berlin, 1982 | MR 667344 | Zbl 0516.14015

[2] Breuil, Christophe Groupes $p$-divisibles, groupes finis et modules filtrés, Ann. of Math. (2), Volume 152 (2000) no. 2, pp. 489-549 | Article | MR 1804530 | Zbl 1042.14018

[3] Conrad, Brian Finite group schemes over bases with low ramification, Compositio Math., Volume 119 (1999) no. 3, pp. 239-320 | Article | MR 1727133 | Zbl 0984.14015

[4] Demazure, M.; Grothendieck, A. Schémas en groupes. I: Propriétés générales des schémas en groupes, Lecture Notes in Mathematics, 151, Springer-Verlag, Berlin, 1970 | MR 274458 | Zbl 0207.51401

[5] Fontaine, Jean-Marc Groupes $p$-divisibles sur les corps locaux, Société Mathématique de France, Paris, 1977 (Astérisque, No. 47-48) | MR 498610 | Zbl 0377.14009

[6] Gross, Benedict H. On canonical and quasicanonical liftings, Invent. Math., Volume 84 (1986) no. 2, pp. 321-326 | Article | MR 833193 | Zbl 0597.14044

[7] Hazewinkel, Michiel Formal groups and applications, Pure and Applied Mathematics, 78, Academic Press Inc., New York, 1978 | MR 506881 | Zbl 0454.14020

[8] Illusie, Luc Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d’après A. Grothendieck), Astérisque (1985) no. 127, pp. 151-198 Seminar on arithmetic bundles: the Mordell conjecture (Paris, 1983/84) | MR 801922

[9] Katz, N. Serre-Tate local moduli, Algebraic surfaces (Orsay, 1976–78) (Lecture Notes in Math.), Volume 868, Springer, Berlin, 1981, pp. 138-202 | MR 638600 | Zbl 0477.14007

[10] Lubin, Jonathan One-parameter formal Lie groups over $p$-adic integer rings, Ann. of Math. (2), Volume 80 (1964), pp. 464-484 | Article | MR 168567 | Zbl 0135.07003

[11] Manin, Ju. I. Theory of commutative formal groups over fields of finite characteristic, Uspehi Mat. Nauk, Volume 18 (1963) no. 6 (114), pp. 3-90 | MR 157972 | Zbl 0128.15603

[12] Oort, Frans Embeddings of finite group schemes into abelian schemes, 1967 (N.S.F. Seminar, Bowdoin college)

[13] Rapoport, Michael On the Newton stratification, Astérisque (2003) no. 290, pp. Exp. No. 903, viii, 207-224 (Séminaire Bourbaki. Vol. 2001/2002) | Numdam | MR 2074057 | Zbl 1159.14304

[14] Raynaud, Michel Schémas en groupes de type $(p,\cdots ,p)$, Bull. Soc. Math. France, Volume 102 (1974), pp. 241-280 | Numdam | MR 419467 | Zbl 0325.14020

[15] Yu, Jiu-Kang On the moduli of quasi-canonical liftings, Compositio Math., Volume 96 (1995) no. 3, pp. 293-321 | Numdam | MR 1327148 | Zbl 0866.14029