Group Schemes over artinian rings and Applications

Berbec, Ioan

Annales de l'Institut Fourier, Volume 59 (2009) no. 6, pp. 2371-2427.

Let $n$ be a positive integer and $A^{\prime }$ a complete characteristic zero discrete valuation ring with maximal ideal $𝔪$, absolute ramification index $e<p-1$ and perfect residue field $k$ of characteristic $p>2$. In this paper we classify smooth finite dimensional formal $p$-faithful groups over $A_n^{\prime }=A^{\prime }/{𝔪}^n{A}^{\prime }$, i.e. groups on which the “multiplication by $p$” morphism is faithfully flat, in particular $p$-divisible groups. As applications, we prove that $p$-divisible groups over $k$, and the morphisms between them, lift canonically to $A^{\prime }/p{A}^{\prime }$, and we study liftings to characteristic zero of certain connected $p$-divisible groups of dimension $d$ and height $h$ over $k=\overline{k}$, with $d$ and $h$ coprime. When $e=1$, we classify finite flat group schemes over $A^{\prime }/p^2{A}^{\prime }$ of $p$-power order and prove that a finite flat group scheme over $A^{\prime }/p^n{A}^{\prime }$ of $p$-power order, having flat $p^i$-torsion for every $i\ge 1$, lifts to $A^{\prime }$.

Soit $n$ un entier positif et $A^{\prime }$ un anneau de valuation discrète complet de caractéristique zéro avec idéal maximal $𝔪$, indice de ramification absolu $e<p-1$ et corps résiduel parfait $k$ de caractéristique $p>2$. Dans cet article nous classifions les groupes formels lisses $p$-fidèles de dimension finie sur $A_n^{\prime }=A^{\prime }/{𝔪}^n{A}^{\prime }$, i.e. les groupes sur lesquels le morphisme “multiplication par $p$ ” est fidèlement plat, en particulier les groupes $p$-divisibles. Comme application, nous prouvons que les groupes $p$-divisibles sur $k$, et les morphismes entre eux, se relèvent canoniquement à $A^{\prime }/p{A}^{\prime }$, et nous étudions les relèvements en caractéristique zéro de certains groupes $p$-divisibles connexes de dimension $d$ et hauteur $h$ sur $k=\overline{k}$, ou $d$ et $h$ sont étrangers. Quand $e=1$, nous classifions les schémas en groupes finis et plats sur $A^{\prime }/p^2{A}^{\prime }$ d’ordre une puissance de $p$ et nous prouvons que tous les schémas en groupes finis et plats sur $A^{\prime }/p^n{A}^{\prime }$ d’ordre une puissance de $p$, avec $p^i$-torsion plate pour chaque $i\ge 1$, se relèvent à $A^{\prime }$.

Classification: 14L15,  14L05
Keywords: Group scheme, $p$-divisible group, almost canonical lifting

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