Hasse–Schmidt derivations, divided powers and differential smoothness

Soit $k$ un anneau commutatif, $A$ une $k$-algèbre commutative et $D$ l’anneau filtré des opérateurs différentiels $k$-linéaires de $A$. Nous montrons que  : (1) l’anneau gradué $\mathrm{gr}\mathrm{D}$ admet un plongement canonique $\theta$ dans le dual gradué de l’algèbre symétrique du module ${\Omega }_{A/k}$ des différentielles de $A$ sur $k$, qui a une structure canonique de puissances divisées. (2) Il existe un morphisme canonique $\vartheta$ de l’algèbre des puissances divisées du module des dérivations $k$-linéaires et intégrables dans le sens de Hasse-Schmidt de $A$ vers $\mathrm{gr}\mathrm{D}$. (3) Les morphismes $\theta$ et $\vartheta$ forment partie d’un diagramme commutatif canonique.

Let $k$ be a commutative ring, $A$ a commutative $k$-algebra and $D$ the filtered ring of $k$-linear differential operators of $A$. We prove that: (1) The graded ring $\mathrm{gr}\mathrm{D}$ admits a canonical embedding $\theta$ into the graded dual of the symmetric algebra of the module ${\Omega }_{A/k}$ of differentials of $A$ over $k$, which has a canonical divided power structure. (2) There is a canonical morphism $\vartheta$ from the divided power algebra of the module of $k$-linear Hasse–Schmidt integrable derivations of $A$ to $\mathrm{gr}\mathrm{D}$. (3) Morphisms $\theta$ and $\vartheta$ fit into a canonical commutative diagram.