Une condition suffisante pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de $\mathrm{GL}(m,\mathrm{D})$

Dans la théorie des représentations de ${\mathrm{GL}}_n$ (et ses formes intérieures) sur un corps local non-archimédien, nous disposons de deux classifications, dues à Zelevinsky et Langlands, construites à partir de certaines représentations segments $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)$ et $\mathrm{L}\left(\Delta \right)$. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour l’irréductibilité de l’induite parabolique $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)\times \mathrm{L}\left({\Delta }^{\text{'}}\right)$ des segments $\Delta$, ${\Delta }^{\text{'}}$. On en déduit des nouvelles conditions suffisantes pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de représentations quelconques. Ce critère est particulièrement pratique pour les représentations dites en échelle.

In the representation theory of ${\mathrm{GL}}_n$ (and its inner forms) over a non-archimedean local field there are two classification schemes due to Zelevinsky and Langlands in which the building blocks are certain segment representations $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)$ and $\mathrm{L}\left(\Delta \right)$. We give a necessary and sufficient criterion for the irreducibility of the parabolic induction $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)\times \mathrm{L}\left({\Delta }^{\text{'}}\right)$ of segments $\Delta$, ${\Delta }^{\text{'}}$. As a consequence we obtain new sufficient conditions for irreducibility of parabolic induction of arbitrary representations. This is particularly useful for the so called ladder representations.

[1] Aubert, Anne-Marie Dualité dans le groupe de Grothendieck de la catégorie des représentations lisses de longueur finie d’un groupe réductif $p$-adique, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 347 (1995) no. 6, pp. 2179-2189 | MR 1285969 | Zbl 0827.22005

[2] Badulescu, Alexandre Ioan; Renard, David Zelevinsky involution and Moeglin-Waldspurger algorithm for ${\mathrm{GL}}_n\left(D\right)$, Functional analysis IX (Various Publ. Ser. (Aarhus)), Volume 48, Univ. Aarhus, Aarhus, 2007, pp. 9-15 | MR 2349436

[3] Badulescu, Alexandru Ioan On $p$-adic Speh representations (à paraître au Bulletin de la SMF)

[4] Badulescu, Alexandru Ioan Un résultat d’irréductibilité en caractéristique non nulle, Tohoku Math. J. (2), Volume 56 (2004) no. 4, pp. 583-592 | Article | Zbl 1064.22003

[5] Badulescu, Alexandru Ioan Jacquet-Langlands et unitarisabilité, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 6 (2007) no. 3, pp. 349-379 | Article | MR 2329758 | Zbl 1159.22005

[6] Badulescu, Alexandru Ioan Global Jacquet-Langlands correspondence, multiplicity one and classification of automorphic representations, Invent. Math., Volume 172(2) (2008), pp. 383-438 (With an appendix by N. Grbac) | Article | MR 2390289 | Zbl 1158.22018

[7] Badulescu, Alexandru Ioan; Henniart, Guy; Lemaire, Bertrand; Sécherre, Vincent Sur le dual unitaire de $\mathrm{GL}(r,D)$, Amer. J. Math., Volume 132 (2010), pp. 1365-1396 | Article | MR 2732351 | Zbl 1205.22011

[8] Bernstein, I. N.; Zelevinsky, A. V. Induced representations of reductive $p$-adic groups. I, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 10 (1977) no. 4, pp. 441-472 | Numdam | MR 579172 | Zbl 0412.22015

[9] Bernstein, Joseph N. $P$-invariant distributions on $\mathrm{GL}\left(N\right)$ and the classification of unitary representations of $\mathrm{GL}\left(N\right)$ (non-Archimedean case), Lie group representations, II (College Park, Md., 1982/1983) (Lecture Notes in Math.), Volume 1041, Springer, Berlin, 1984, pp. 50-102 | MR 748505 | Zbl 0541.22009

[10] Boyer, Pascal Monodromie du faisceau pervers des cycles évanescents de quelques variétés de Shimura simples, Invent. Math., Volume 177 (2009), pp. 239-280 | Article | MR 2511742 | Zbl 1172.14016

[11] Chenevier, Gaëtan; Renard, David Characters of Speh representations and Lewis Caroll identity, Represent. Theory, Volume 12 (2008), pp. 447-452 | Article | MR 2465802 | Zbl 1163.22008

[12] Deligne, P.; Kazhdan, D.; Vignéras, M.-F. Représentations des algèbres centrales simples $p$-adiques, Representations of reductive groups over a local field (Travaux en Cours), Hermann, Paris, 1984, pp. 33-117 | MR 771672 | Zbl 0583.22009

[13] Lapid, Erez; Mínguez, Alberto On a determinantal formula of Tadić (à paraître à Amer. J. of Math.)

[14] Mínguez, Alberto Correspondance de Howe explicite : paires duales de type II, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Volume 41 (2008) no. 5, pp. 717-741 | Numdam | MR 2504432 | Zbl 1220.22014

[15] Mínguez, Alberto Sur l’irréductibilité d’une induite parabolique, J. Reine Angew. Math., Volume 629 (2009), pp. 107-131 | MR 2527415 | Zbl 1172.22008

[16] Mínguez, Alberto; Sécherre, Vincent Représentations banales de $\mathrm{GL}(m,D)$ (à paraître dans Compositio Math.)

[17] Mínguez, Alberto; Sécherre, Vincent Représentations lisses modulo $\ell$ de $\mathrm{GL}(m,D)$ (preprint, available at http://www.math.jussue.fr/~minguez)

[18] Mœglin, C.; Waldspurger, J.-L. Sur l’involution de Zelevinski, J. Reine Angew. Math., Volume 372 (1986), pp. 136-177 | MR 863522 | Zbl 0594.22008

[19] Mœglin, C.; Waldspurger, J.-L. Le spectre résiduel de $\mathrm{GL}\left(n\right)$, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 22 (1989) no. 4, pp. 605-674 | Numdam | MR 1026752 | Zbl 0696.10023

[20] Sécherre, Vincent Proof of the Tadić conjecture (U0) on the unitary dual of ${\mathrm{GL}}_m\left(D\right)$, J. Reine Angew. Math., Volume 626 (2009), pp. 187-203 | Article | MR 2492994 | Zbl 1170.22009

[21] Tadić, Marko Induced representations of $\mathrm{GL}(n,A)$ for $p$-adic division algebras $A$, J. Reine Angew. Math., Volume 405 (1990), pp. 48-77 | MR 1040995 | Zbl 0684.22008

[22] Tadić, Marko On characters of irreducible unitary representations of general linear groups, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, Volume 65 (1995), pp. 341-363 | Article | MR 1359141 | Zbl 0856.22026

[23] Tadić, Marko Representation theory of $\mathrm{GL}\left(n\right)$ over a $p$-adic division algebra and unitarity in the Jacquet-Langlands correspondence, Pacific J. Math., Volume 223 (2006) no. 1, pp. 167-200 | Article | MR 2221023 | Zbl 1124.22005

[24] Zelevinsky, A. V. Induced representations of reductive $p$-adic groups. II. On irreducible representations of $\mathrm{GL}\left(n\right)$, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 13 (1980) no. 2, pp. 165-210 | Numdam | MR 584084 | Zbl 0441.22014