A variety over a field is of Hilbert type if is not thin. We prove that if is a dominant morphism of -varieties and both and all fibers , , are of Hilbert type, then so is . We apply this to answer a question of Serre on products of varieties and to generalize a result of Colliot-Thélène and Sansuc on algebraic groups.
Une variété sur un corps a la propriété de Hilbert si n’est pas mince. Nous montrons que si est un morphisme de -variétés dominant et si ainsi que toutes les fibres pour ont la propriété de Hilbert, alors aussi. Ceci nous permet de répondre à une question de Serre concernant les produits de variétés, et de généraliser un résultat de Colliot-Thélène et Sansuc sur les groupes algébriques.
Keywords: Thin set, variety of Hilbert type, Hilbertian field, algebraic group
Mot clés : ensemble mince, propriété de Hilbert, corps Hilbertien, groupes algébriques
@article{AIF_2014__64_5_1893_0, author = {Bary-Soroker, Lior and Fehm, Arno and Petersen, Sebastian}, title = {On varieties of {Hilbert} type}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {1893--1901}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {64}, number = {5}, year = {2014}, doi = {10.5802/aif.2899}, zbl = {06387326}, mrnumber = {3330926}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2899/} }
TY - JOUR AU - Bary-Soroker, Lior AU - Fehm, Arno AU - Petersen, Sebastian TI - On varieties of Hilbert type JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 2014 SP - 1893 EP - 1901 VL - 64 IS - 5 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2899/ DO - 10.5802/aif.2899 LA - en ID - AIF_2014__64_5_1893_0 ER -
%0 Journal Article %A Bary-Soroker, Lior %A Fehm, Arno %A Petersen, Sebastian %T On varieties of Hilbert type %J Annales de l'Institut Fourier %D 2014 %P 1893-1901 %V 64 %N 5 %I Association des Annales de l’institut Fourier %U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2899/ %R 10.5802/aif.2899 %G en %F AIF_2014__64_5_1893_0
Bary-Soroker, Lior; Fehm, Arno; Petersen, Sebastian. On varieties of Hilbert type. Annales de l'Institut Fourier, Volume 64 (2014) no. 5, pp. 1893-1901. doi : 10.5802/aif.2899. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2899/
[1] Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, 126, Springer-Verlag, New York, 1991, pp. xii+288 | MR | Zbl
[2] Principal homogeneous spaces under flasque tori: applications, J. Algebra, Volume 106 (1987) no. 1, pp. 148-205 | DOI | MR | Zbl
[3] A modern proof of Chevalley’s theorem on algebraic groups, J. Ramanujan Math. Soc., Volume 17 (2002) no. 1, pp. 1-18 | MR | Zbl
[4] Rational fixed points for linear group actions, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), Volume 6 (2007) no. 4, pp. 561-597 | Numdam | MR | Zbl
[5] Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 11, Springer-Verlag, Berlin, 2008, pp. xxiv+792 (Revised by Jarden) | MR | Zbl
[6] Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1961) no. 8, pp. 5-222
[7] Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1961) no. 11, pp. 5-167 | Numdam | Zbl
[8] Revêtements étales et groupe fondamental. Fasc. I: Exposés 1 à 5, Séminaire de Géométrie Algébrique, 1960/61, Institut des Hautes Études Scientifiques, Paris, 1963, pp. iv+143
[9] Revêtements étales et groupe fondamental. Fasc. II: Exposés 6, 8 à 11, Séminaire de Géométrie Algébrique, 1960/61, Institut des Hautes Études Scientifiques, Paris, 1963, pp. i+163
[10] Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1964) no. 20, pp. 5-259 | DOI | Numdam | Zbl
[11] Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Deuxième partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1965) no. 24, pp. 5-231 | Numdam | Zbl
[12] Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1966) no. 28, pp. 5-255 | DOI | Numdam | Zbl
[13] Rationally connected varieties and fundamental groups, Higher dimensional varieties and rational points (Budapest, 2001) (Bolyai Soc. Math. Stud.), Volume 12, Springer, Berlin, 2003, pp. 69-92 | MR | Zbl
[14] Basic Theory of Affine Group Schemes (2012) (Available at www.jmilne.org)
[15] Cohomology of number fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 323, Springer-Verlag, Berlin, 2008, pp. xvi+825 | MR | Zbl
[16] Questions of rationality for solvable algebraic groups over nonperfect fields, Ann. Mat. Pura Appl. (4), Volume 61 (1963), pp. 97-120 | DOI | MR | Zbl
[17] Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires sur un corps de nombres, J. Reine Angew. Math., Volume 327 (1981), pp. 12-80 | MR | Zbl
[18] Galois cohomology, Springer-Verlag, Berlin, 1997, pp. x+210 (Translated from the French by Patrick Ion and revised by the author) | MR | Zbl
[19] Topics in Galois theory, Research Notes in Mathematics, 1, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2008, pp. xvi+120 (notes written by Henri Darmon) | MR | Zbl
Cited by Sources: