On varieties of Hilbert type
Annales de l'Institut Fourier, Volume 64 (2014) no. 5, pp. 1893-1901.

A variety X over a field K is of Hilbert type if X(K) is not thin. We prove that if f:XS is a dominant morphism of K-varieties and both S and all fibers f -1 (s), sS(K), are of Hilbert type, then so is X. We apply this to answer a question of Serre on products of varieties and to generalize a result of Colliot-Thélène and Sansuc on algebraic groups.

Une variété X sur un corps K a la propriété de Hilbert si X(K) n’est pas mince. Nous montrons que si f:XS est un morphisme de K-variétés dominant et si S ainsi que toutes les fibres f -1 (s) pour sS(K) ont la propriété de Hilbert, alors X aussi. Ceci nous permet de répondre à une question de Serre concernant les produits de variétés, et de généraliser un résultat de Colliot-Thélène et Sansuc sur les groupes algébriques.

DOI: 10.5802/aif.2899
Classification: 12E25, 12E30, 20G30
Keywords: Thin set, variety of Hilbert type, Hilbertian field, algebraic group
Mot clés : ensemble mince, propriété de Hilbert, corps Hilbertien, groupes algébriques
Bary-Soroker, Lior 1; Fehm, Arno 2; Petersen, Sebastian 3

1 Schreiber 208 School of Mathematical Sciences Tel Aviv University Ramat Aviv Tel Aviv 6997801 (Israel)
2 Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Fach 203 78457 Konstanz (Germany)
3 Fachbereich Mathematik Universität Kassel Heinrich-Plettstr. 40 D-34132 Kassel (Germany)
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[1] Borel, Armand Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, 126, Springer-Verlag, New York, 1991, pp. xii+288 | MR | Zbl

[2] Colliot-Thélène, Jean-Louis; Sansuc, Jean-Jacques Principal homogeneous spaces under flasque tori: applications, J. Algebra, Volume 106 (1987) no. 1, pp. 148-205 | DOI | MR | Zbl

[3] Conrad, Brian A modern proof of Chevalley’s theorem on algebraic groups, J. Ramanujan Math. Soc., Volume 17 (2002) no. 1, pp. 1-18 | MR | Zbl

[4] Corvaja, Pietro Rational fixed points for linear group actions, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), Volume 6 (2007) no. 4, pp. 561-597 | Numdam | MR | Zbl

[5] Fried, Michael D.; Jarden, Moshe Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 11, Springer-Verlag, Berlin, 2008, pp. xxiv+792 (Revised by Jarden) | MR | Zbl

[6] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1961) no. 8, pp. 5-222

[7] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1961) no. 11, pp. 5-167 | Numdam | Zbl

[8] Grothendieck, A. Revêtements étales et groupe fondamental. Fasc. I: Exposés 1 à 5, Séminaire de Géométrie Algébrique, 1960/61, Institut des Hautes Études Scientifiques, Paris, 1963, pp. iv+143

[9] Grothendieck, A. Revêtements étales et groupe fondamental. Fasc. II: Exposés 6, 8 à 11, Séminaire de Géométrie Algébrique, 1960/61, Institut des Hautes Études Scientifiques, Paris, 1963, pp. i+163

[10] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1964) no. 20, pp. 5-259 | DOI | Numdam | Zbl

[11] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Deuxième partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1965) no. 24, pp. 5-231 | Numdam | Zbl

[12] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1966) no. 28, pp. 5-255 | DOI | Numdam | Zbl

[13] Kollár, János Rationally connected varieties and fundamental groups, Higher dimensional varieties and rational points (Budapest, 2001) (Bolyai Soc. Math. Stud.), Volume 12, Springer, Berlin, 2003, pp. 69-92 | MR | Zbl

[14] Milne, J. Basic Theory of Affine Group Schemes (2012) (Available at www.jmilne.org)

[15] Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay Cohomology of number fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 323, Springer-Verlag, Berlin, 2008, pp. xvi+825 | MR | Zbl

[16] Rosenlicht, Maxwell Questions of rationality for solvable algebraic groups over nonperfect fields, Ann. Mat. Pura Appl. (4), Volume 61 (1963), pp. 97-120 | DOI | MR | Zbl

[17] Sansuc, J.-J. Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires sur un corps de nombres, J. Reine Angew. Math., Volume 327 (1981), pp. 12-80 | MR | Zbl

[18] Serre, Jean-Pierre Galois cohomology, Springer-Verlag, Berlin, 1997, pp. x+210 (Translated from the French by Patrick Ion and revised by the author) | MR | Zbl

[19] Serre, Jean-Pierre Topics in Galois theory, Research Notes in Mathematics, 1, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2008, pp. xvi+120 (notes written by Henri Darmon) | MR | Zbl

Cited by Sources: