Dynamique et formes normales d’équations différentielles implicites

Aurouet, Julien

Annales de l'Institut Fourier, Tome 64 (2014) no. 5, pp. 1903-1945.

Dans cet article on cherche à comprendre la dynamique locale d’équations différentielles implicites de la forme $F(x,y,dy)=0$, où $F$ est un germe de fonction sur ${𝕂}^n\times 𝕂\times {{𝕂}^n}^{*}$ (où $𝕂=ℝ$ ou $ℂ$), au voisinage d’un point singulier. Pour cela on utilise la relation intime entre les systèmes implicites et les champs liouvilliens. La classification par transformation de contact des équations implicites provient de la classification symplectique des champs liouvilliens. On utilise alors toute la théorie des formes normales pour les champs de vecteurs, dans le cas holomorphe (Brjuno, Siegel, Stolovitch) et dans le cas réel (Sternberg), que l’on adapte pour les champs liouviliens avec des transformations symplectiques. On établit alors des résultats de classification des équations implicites en fonction des invariants dynamiques, ainsi que des conditions d’existence de solutions locales via les formes normales.

In this paper, we try to understand the local dynamic of implicit equations of the form $F(x,y,dy)=0$, where $F$ is a germ of function on ${𝕂}^n\times 𝕂\times {{𝕂}^n}^{*}$ (where $𝕂=ℝ$ or $ℂ$), in a neighborhood of a singular point. To this end we use the relation between implicit systems and liouvillian vector fields. The classification by contact transformations of implicit equations come from the symplectic classification of liouvillian vector fields. We use all normal forms theory for vector fields, in complex case (Bjruno, Siegel, Stolovitch), and in real case (Sternberg), adapted to liouvillian fields with symplectic transformations. We establish classification results for implicit equations according to the dynamical invariants, and existence conditions of local solutions using normal forms.

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