Sur l’arithmétique des extensions galoisiennes à groupe de Galois diédral d’ordre $2p$

Martinet, Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969) no. 1, pp. 1-80.

Nous nous occupons dans cet article de l’arithmétique des extensions galoisiennes $N/\kappa$ dont le groupe de Galois est un groupe diédral $D_p$, $p$ premier. Le théorème fondamental est le suivant (Théorème de la base normale) :

Soit $A$ un anneau principal de caractéristique $O$, tel que $A/pA$ soit un corps à $p$ éléments. Soit $\kappa$ le corps des fractions de $A$, $N$ une extension galoisienne de $\kappa$ dont le groupe de Galois $G$ est isomorphe à $D_p$, et $B$ la clôture intégrale de $A$ dans $N$. Supposons en outre que $N/\kappa$ est modérément ramifiée, et que l’anneau des entiers du sous-corps quadratique de $N$ possède une base normale sur $A$. Alors $B$ lui-même possède une base normale sur $A$.

Nous rappelons dans les deux premiers chapitres les résultats fondamentaux concernant les anneaux de Dedekind et l’algèbre d’un groupe sur un tel anneau.

Dans le troisième chapitre, nous étudions la ramification et calculons le discriminant.

Dans le chapitre IV, nous ajoutons au corps de base une racine $p$-ième primitive de l’unité, et utilisons la “théorie de Kummer” pour obtenir la structure de l’anneau des entiers d’une extension à groupe de Galois diédral.

Dans le chapitre V, nous montrons l’existence de bases particulières pour l’anneau des entiers d’un sous-corps de $N$ de degré $p$ sur $\left[k\right]$.

Le but du chapitre VI est la démonstration du théorème fondamental ; quand $\kappa$ est le corps des nombres rationnels, cela donne une généralisation dans le cas diédral du théorème de la base normale, bien connu pour les extensions abéliennes (Théorème 132 de Hilbert).

This paper deals with the arithmetic of Galois extensions $N/\kappa$ whose Galois group is a dihedral group $D_p,p$ prime. The main theorem is the following (Normal basis theorem):

Let $A$ be a principal ideal ring of characteristic $O$, such that $A/pA$ is a field with $p$ elements. Let $\kappa$ be the quotient field of $A,N$ a Galois extension of $\kappa$ whose Galois group $G$ is isomorphic to $D_p$, and $B$ the integral closure of $A$ in $N$. Suppose furthermore that $N/\kappa$ is tamely ramified, and that the ring of integers of the quadratic subfield of $N$ possesses a normal basis over $A$. Then $B$ itself possessses a normal basis over $A$.

We recall in the first two chapters the fundamental facts concerning Dedekind rings and group algebras over such rings.

In the third chapter, we study the ramification of dihedral extensions, and compute the discriminant.

In the fourth chapter, we extend the ground field by adjoining to it a primitive $p$-th root of 1, and use “Kummer theory” to obtain the structure of the ring of integers of a dihedral extension.

In the fifth chapter, we prove the existence of special bases for the ring of integers of a subfield of $N$ of degree $p$ over $\kappa$.

The aim of the sixth chapter is to prove the main theorem; when $\kappa$ is the field of rationals numbers, this gives in the dihedral case a theorem which generalizes the well-known normal basis theorem for abelian extensions (Hilbert, theorem 132).

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