Local Galois group of irregular $q$-difference equations

Bugeaud, Virginie

Annales de l'Institut Fourier, Tome 68 (2018) no. 3, pp. 901-964.

Sur la base des travaux de van der Put et Reversat sur les formes normales des modules purs isoclines à pentes non entières, nous poursuivons la classification analytique locale des modules aux q-différences réalisée pour le cas des modules à pentes entières par Ramis, Sauloy et Zang. Nous obtenons un analoque des formes normales de Birkhoff–Guenther dans le cas à deux pentes non entières. En calculant les opérateurs de Stokes dans le cas à deux pentes, nous démontrons un théorème de classification par le $H^1$. De plus, nous décrivons le groupe de Galois sous forme matricielle dans le cas où le dénominateur des pentes est fixé. Enfin, nous démontrons un théorème de densité similaire à celui de Ramis et Sauloy pour décrire le groupe de Galois.

Relying on the normal forms of pure isoclinic modules with non integral slopes, due to van der Put and Reversat, we extend the isoformal analytic classification of Ramis, Sauloy and Zang made for the case of integral slopes. We obtain an analogue of Birkhoff–Guenther normal forms in the case of two slopes which are not integral. Computing Stokes operators in the case of two slopes, we prove a theorem of classification by the $H^1$. Moreover, we describe in a matricial form the formal Galois group when the denominator of the slopes is fixed. Finally, we prove a density theorem similar to that of Ramis and Sauloy to describe the Galois group.

Classification : 39A13, 34M40
Keywords: irregular q-difference equations, normals forms, isoformal classification, Stokes operators, Galois group
Mot clés : équations aux q-différences irrégulières, formes normales, classification isoformelle, opérateurs de Stokes, groupe de galois

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