Pappus Theorem, Schwartz Representations and Anosov Representations

Barbot, Thierry; Lee, Gye-Seon; Valério, Viviane Pardini

Annales de l'Institut Fourier, Tome 68 (2018) no. 6, pp. 2697-2741.

Dans l’article Pappus’s theorem and the modular group R. Schwartz a montré que le Théorème de Pappus fournissait une famille à deux paramètres de représentations ${\rho }_{\Theta }$ du groupe modulaire $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ dans le groupe $𝒢$ de symétries projectives du plan projectif. L’image de l’unique sous-groupe $\mathrm{PSL}{(2,\mathbb{Z})}_o$ d’indice $2$ de $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ par chaque ${\rho }_{\Theta }$ de $\mathrm{PSL}{(2,\mathbb{Z})}_o$ est contenue dans le sous-groupe $\mathrm{PGL}(3,ℝ)$ de $𝒢$ formé des transformations projectives, et préserve un cercle topologique dans la variété des drapeaux. Cependant, elles ne sont pas Anosov. Dans sa thèse [18, 19], V. P. Valério a élucidé ce comportement de type Anosov des représentations de Schwartz. Pour chaque représentation ${\rho }_{\Theta }$, il existe une famille à un paramètre ${\left({\rho }_{\Theta }^{\epsilon }\right)}_{\epsilon \in ℝ}$ de représentations Anosov de $\mathrm{PSL}{(2,\mathbb{Z})}_o$ dans $\mathrm{PGL}(3,ℝ)$ telles que ${\rho }_{\Theta }^0$ soit la restriction de ${\rho }_{\Theta }$ à $\mathrm{PSL}{(2,\mathbb{Z})}_o$ et de sorte que ${\rho }_{\Theta }^{\epsilon }$ soit Anosov pour $\epsilon <0$. Dans le présent article, nous améliorons son travail. Pour chaque représentation ${\rho }_{\Theta }$, nous construisons une famille à deux paramètres de représentations Anosov ${\left({\rho }_{\Theta }^{\lambda }\right)}_{\lambda \in {ℝ}^2}$ de $\mathrm{PSL}{(2,\mathbb{Z})}_o$ vers $\mathrm{PGL}(3,ℝ)$ contenant les ${\rho }_{\Theta }^{\epsilon }$, ainsi qu’une sous-famille à un paramètre de représentations qui s’étendent en des représentations de $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ vers $𝒢$. Ceci montre qu’en un certain sens, les représentations de Schwartz sont dans le bord de l’ensemble des représentations Anosov dans l’espace de toutes les représentations de $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ vers $𝒢$.

In the paper Pappus’s theorem and the modular group, R. Schwartz constructed a $2$-dimensional family of faithful representations ${\rho }_{\Theta }$ of the modular group $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ into the group $𝒢$ of projective symmetries of the projective plane via Pappus Theorem. The image of the unique index $2$ subgroup $\mathrm{PSL}{(2,\mathbb{Z})}_o$ of $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ under each representation ${\rho }_{\Theta }$ is in the subgroup $\mathrm{PGL}(3,ℝ)$ of $𝒢$ and preserves a topological circle in the flag variety, but ${\rho }_{\Theta }$ is not Anosov. In her PhD Thesis [18, 19], V. P. Valério elucidated the Anosov-like feature of Schwartz representations: for every ${\rho }_{\Theta }$, there exists a $1$-dimensional family of Anosov representations ${\rho }_{\Theta }^{\epsilon }$ of $\mathrm{PSL}{(2,\mathbb{Z})}_o$ into $\mathrm{PGL}(3,ℝ)$ whose limit is the restriction of ${\rho }_{\Theta }$ to $\mathrm{PSL}{(2,\mathbb{Z})}_o$. In this paper, we improve her work: for each ${\rho }_{\Theta }$, we build a $2$-dimensional family of Anosov representations of $\mathrm{PSL}{(2,\mathbb{Z})}_o$ into $\mathrm{PGL}(3,ℝ)$ containing ${\rho }_{\Theta }^{\epsilon }$ and a $1$-dimensional subfamily of which can extend to representations of $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ into $𝒢$. Schwartz representations are therefore, in a sense, the limits of Anosov representations of $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ into $𝒢$.

Classification : 37D20, 37D40, 20M30, 22E40, 53A20
Keywords: Pappus Theorem, modular group, group of projective symmetries, Farey triangulation, Schwartz representation, Gromov-hyperbolic group, Anosov representation, Hilbert metric
Mot clés : Théorème de Pappus, groupe modulaire, groupe de symétries projectives, triangulation de Farey, représentation de Schwatz, groupe hyperbolique au sens de Gromov, représentation Anosov, métrique de Hilbert

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