Approximation de fonctions différentiables sur certains espaces de Banach

Moulis, Nicole

Annales de l'Institut Fourier, Volume 21 (1971) no. 4, pp. 293-345.

Let $E$ be a separable Banach space, infinite dimensional; I approximate $C^k$-functions defined on an open set $\Omega$ of $E$, by $C^{\infty }$-functions. The main result is: let $E$ be Hilbert space, the set of $C^{\infty }$ maps from $\Omega$ to a Banach space $F$ is dense is the set of $C^{2k-1}$ maps from $\Omega$ to $F$ for the $C^k$ fine-topology. As a corollary, I prove that the classification of $C^k$-structures on a Hilbert-manifold is equivalent to the classification of $C^{\infty }$-structures.

Finally, I approximate $C^1$ functions in the sense of $C^1$ fine topology by $C^{\infty }$ Sard functions (The set of critical values is countable intersection of dense open sets).This has important applications in transversality theorems.

Soit $E$ un espace de Banach séparable de dimension infinie ; le sujet de cette étude est l’approximation de fonctions de classe $C^k$ définies sur un ouvert $\Omega$ de $E$ à valeurs dans un espace de Banach $F$ par des fonctions de classe $C^{\infty }$. Le principal résultat est : si $E$ est un espace de Hilbert, l’ensemble des applications de classe $C^{\infty }$ de $\Omega$ dans $F$ est dense dans l’ensemble des applications de classe $C^{2k-1}$ muni de la $C^k$ topologie fine. Comme corollaire, on montre que l’étude des variétés hilbertiennes de classe $C^k$ se ramène à celles des variétés de classe $C^{\infty }$.

Enfin, on montre que l’ensemble des fonctions de Sard de classe $C^{\infty }$ est dense dans l’ensemble des applications de classe $C^1$ muni de la $C^1$ topologie fine. (Une application est dite de Sard si le complémentaire de l’ensemble des valeurs critiques est intersection dénombrable d’ouverts denses.) On en déduit comme corollaires des théorèmes de transversalité.

[1] R. Abraham et J. Robbin, Transversal mappings and flows (Benjamin). | Zbl

[2] R. Bonic et J. Frampton, Smooth functions on Banach manifolds, Journal of Mathematics and Mechanics, 15 (1966), 877-895. | MR | Zbl

[3] N. Bourbaki, Topologie générale, chapitre IX.

[4] A. Douady, Le problème des modules sur les sous-espaces analytiques compacts d'un espace analytique donné, Annales Institut Fourier, Grenoble 16-1 (1966), 1-95. | Numdam | MR | Zbl

[5] J. Eells and K. D. Elworthy, Open embeddings on certain Banach manifolds. A paraître aux Annals of Mathematics. | Zbl

[6] J. Eells et Mac-Alpin, An approximate Morse-Sard theorem, Journal of Mathematics and Mechanics, 17 (1967), 1055-1064. | Zbl

[7] K. D. Elworthy, Frodholm maps and GL-(E) structures, Bull. Amer. Math. Soc., 74 (1968), 582-586. | MR | Zbl

[8] N. H. Kuiper et B. Terpstra, Differentiable closed embeddings of Banach manifolds, Conference in honor of G. de Rham Springer Verlag (1970), 118-125. | MR | Zbl

[9] N. H. Kuiper et D. Burghelea, Hilbert manifolds, Annals of Mathematics, vol. 90, n° 3, 379-417. | Zbl

[10] C. Morlet, Le lemme de Thom et les théorèmes de plongement. Séminaire H. Cartan 14, 1961-1962, exposés 4-7. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[11] J. R. Munkrees, Elementary differential topology, Annals of Mathematics Studies, n° 54 (1963). | MR | Zbl

[12] F. Quinn, Transversal approximation in Banach manifolds, à paraître aux "Proccedings Summer institute in Global Analysis", Berkeley, 1968. | Zbl

[13] S. Smale, An infinite dimensional version in Sard's theorem, American Journal of Mathematics, 87 (1965), 861-866. | MR | Zbl

[14] J. Wells, Differentiable functions in co, Bulletin Amer. Math. Soc., 75 (1969), 117-118. | MR | Zbl