Familles résolvantes, générateurs, co-générateurs, potentiels

Hirsch, Francis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 1, pp. 89-210.

Nous étudions, dans les espaces de Banach, les familles résolvantes (ou pseudo-résolvantes) $(R_{\lambda }{)}_{\lambda >0}$ et les “générateurs” qu’on peut leur associer quand $\lambda$ tend vers zéro ou quand $\lambda$ tend vers l’infini. Lorsque la famille résolvante est à contraction, ces “générateurs” qu’on peut leur associer quand $\lambda$ tend vers zéro ou quand $\lambda$ tend vers l’infini. Lorsque la famille résolvante est à contraction, ces “générateurs” vérifient des “principes du maximum” qui sont des versions “abstraites” de principes du maximum rencontrés en théorie du potentiel. La notion importante introduite est la notion de codissipativité (liée à la notion de dissipativité déjà introduite par G. Lumer et R.S. Phillips).

Cette étude nous permet d’étendre le théorème fondamental de Hunt-Lion (ce théorème caractérise, au moyen des familles résolvantes sous-markoviennes, les opéra-teurs positifs sur un espace ${𝒞}^0$, de domaine contenant les fonctions continues à support compact et vérifiant le principe complet du maximum) à des cas de non positivité partielle.

Nous étudions ensuite, dans le cadre de la convolution, des “principes” plus faibles, mais plus concrets, que la codissipativité.

Enfin, nous donnons certains résultats concernant un calcul symbolique sur les “potentiels abstraits”.

This is a study, on Banach spaces, of resolvent families (i.e. pseudo-resolvents) $(R_{\lambda }{)}_{\lambda >0}$ and of the “generators” that can be associated to them when $\lambda$ tends to zero or to infinity. When the family is a contraction family these “generators” satisfy abstract versions of the “maximum principles” used in Potential theory. The important notion introduced here is the notion of “codissipativity” (linked to the dissipativity introduced by G. Lumer and E.S. Phillips).

From this study, the fundamental Hunt-Lion theorem (which characterizes, through submarkovian resolvent families, the positive operators on a space ${𝒞}^0$, whose domains contain the space of functions with compact support, and that satisfy the complete maximum principle) is extended to the cases of non positivity and of partial positivity.

Then, in the framework of convolution, other principles are studied, that are weaker but more concrete than codissipativity.

Finally, some results are given on the Operational calculus of “abstracts potentials”.

[1] V. Balakrishnan, Fractional powers of closed operators and the semi-groups generated by them, Pacific J. Math., t. 10, 419-437, (1960). | MR | Zbl

[2] S. Bochner, Harmonic analysis and the theory of probability. Second Printing. University of California Press. Berkeley and Los Angeles. (1960).

[3] R.B. Burckel, Weakly almost periodic functions on semi-groups, Gordon and Breach, New-York. (1970). | MR | Zbl

[4] J. Deny, Sur l'équation de convolution µ = µ * σ. Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Théorie du potentiel, 4ème année, (1959/1960), n° 5. | EuDML | Numdam | Zbl

[5] J. Deny, Les principes du maximum en théorie du potentiel. Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Théorie du potentiel, 6ème année, (1961/1962), n° 10. | EuDML | Numdam | Zbl

[6] J. Faraut, Puissances fractionnaires d'un noyau de Hunt. Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Théorie du potentiel, 10ème année, (1965/1966), n° 7. | EuDML | Numdam | Zbl

[7] J. Faraut, Semi-groupes de mesures complexes et calcul symbolique sur les générateurs infinitésimaux de semi-groupes d'opérateurs, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 20, (1970), Fasc. 1. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[8] F. Hirsch, Sur le principe classique du maximum et le quotient de deux fonctions de Bernstein, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 267, (1968), Série A, 795-798. | MR | Zbl

[9] F. Hirsch, Sur un principe du maximum pour des noyaux complexes bornés, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 269, (1969), Série A, 959-962. | MR | Zbl

[10] F. Hirsch, Opérateurs codissipatifs, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 270, 1970, Série A, 1 487-1 490. | MR | Zbl

[11] F. Hirsch, Sur les familles résolvantes et les “générateurs” associés, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 271, (1970), Série A, 714-717. | MR | Zbl

[12] F. Hirsch, Sur une généralisation d'un théorème de M. Ito, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 271, (1970), Série A, 1 236-1 238. | MR | Zbl

[13] F. Hirsch, Sur le principe classique du maximum, Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Théorie du potentiel. 13ème année, (1969/1970), n° 6. | Numdam | Zbl

[14] F. Hirsch, Noyaux associés à des opérateurs de Faraut. Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Théorie du potentiel. 13ème année, (1969/1970), n° 10. | Numdam | Zbl

[15] G.A. Hunt, Markoff processes and potentials, Illinois J. of Math., t. 1, (1957), 44-93 et 316-369 et t. 2, 1958, 151-215. | MR | Zbl

[16] M. Ito, Sur les sommes de noyaux de Dirichlet, C.R. Acad. Scd'après. Paris, t. 271, (1970), Série A, 937-940. | MR | Zbl

[17] J.P. Kahane, Quotients de fonctions définies-négatives ( Beurling et Deny), Séminaire Bourbaki, 19ème année, 1966/1967, n° 315. | Numdam | Zbl

[18] T. Kato, Nonlinear semi-groups and evolution equations. J. Math. Soc. Japan, t. 19, n° 4, (1967). | MR | Zbl

[19] H. Komatsu, Fractional powers of operators, Pacific J. of Math., t. 19, n° 2, (1966). | MR | Zbl

[20] H. Komatsu, Fractional powers of operators, Negative powers, J. Math. Soc. Japan, t. 21, n° 2, (1969). | Zbl

[21] G. Lion, Familles d'opérateurs et frontière en théorie du potentiel, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 16, (1966), fasc. 2, 389-453. | Numdam | MR | Zbl

[22] G. Lumer and R.S. Phillips, Dissipative operators in a Banach space, Pacific J. of Math., t. 11, (1961), 679-698. | MR | Zbl

[23] G. Mokobodski et D. Sibony, Cônes adaptés de fonctions continues et théorie du potentiel, Séminaire Choquet : Initiation à l'analyse, 6ème année, (1966-1967), n° 5. | Numdam | Zbl

[24] R.R. Phelps, Lectures on Choquet theorem, Van Nostrand-Princeton. (1966). | MR | Zbl

[25] R.S. Phillips, Dissipative operators and hyperbolic systems of partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., t. 90, (1959), 193-254. | MR | Zbl

[26] L. Schwartz, Théorie des distributions. Hermann, Paris, (1966).

[27] D.V. Widder, The Laplace Transform. Princeton University Press. Princeton, (1946).

[28] K. Yosida, Functional analysis. Second Printing. Springer-Verlag. Berlin, (1968).

[29] K. Yosida, On the existence of abstract potential operators and the principle of majoration associated with them. Research institute for mathematical sciences, Kyoto, Japan, April 1970.

[30] K. Yosida, A characterisation of abstract potential operators. Research institue for mathematical sciences, Kyoto, Japan, May 1970.

[31] K. Yosida, T. Watanabe, H. Tanaka, On the pre-closedness of the potential operator. J. Math. Soc. Japan, t. 20, n° 1-2, (1968). | MR | Zbl