Potentiel markovien récurrent des chaînes de Harris
Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 2, pp. 85-130.

Nous montrons que toute probabilité de transition sur un espace mesurable correspondant à une chaîne de Markov vérifiant la condition de récurrence de Harris, admet au moins un opérateur potentiel positif ; à partir de là, nous développons une théorie du “potentiel logarithmique” pour ces probabilités de transition, en étudiant notamment de manière approfondie un cône de fonctions dites spéciales.

Given a transition probability $P=\left(P\left(x,A\right);x\in E,A\in 𝒜\right)$ on a separable measurable space $\left(E,\right)$, we study minorations of the form

 ${U}_{h}\left(x,dy\right)\ge a\left(x\right)m\left(dy\right)$

for the potential operators ${U}_{h}={\sum }_{\mathbf{N}}\left(P{M}_{1-h}{\right)}^{n}P$, where $h$ denotes a measurable function from $E$ to $\left(0,1\right)$ and where ${M}_{k}$ is the multiplication operator by $k$. We show for instance that if $P$ verifies Harris’ recurrence relation, then there exists a strictly positive $h$ for which ${U}_{h}\ge 1\otimes \mu$, where $\mu$ is the $P$-invariant measure. This result allows us 1) to define positive $\sigma$-finite potential operators in this recurrent case that satisfy the usual principles of potential theory 2) to solve the Poisson equations for functions of for measures in a more general and more natural setting than before. The extension of these results to resolvents is briefly indicated at the end.

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Neveu, Jacques. Potentiel markovien récurrent des chaînes de Harris. Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 2, pp. 85-130. doi : 10.5802/aif.414. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.414/

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