Intégrales de résolvantes et calcul symbolique

Hirsch, Francis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 4, pp. 239-264.

Soit $f$ une transformée de Stieltjes. Notant $H_f$ un prolongement de la fonction $f\left(z^{-1}\right)$ à $(\mathbf{C}\setminus {\mathbf{R}}^{*}\cup \{\infty \left\}\right)$, on définit, pour tout espace de Banach $X$ et pour tout opérateur $V$ sur $X$ qui soit de domaine dense, fermé, d’ensemble résolvant contenant ${\mathbf{R}}^{*}$ et qui vérifie ${sup}_{\lambda >0}\parallel (I+\lambda V{)}^{-1}\parallel <\infty$, un opérateur $H_f\left(V\right)$ qui est un opérateur sur $X$ de même nature que $V$. On montre que l’on a ${\sigma }^e[H_f\left(V\right)]=H_f[{\sigma }^e\left(V\right)]$ (où ${\sigma }^e$ désigne le spectre étendu). En outre, l’opération $H_f$ a d’excellentes propriétés de stabilité. En particulier, si $f\ne 0$ et si $V$ est un potentiel abstrait, $H_f\left(V\right)$ est un potentiel abstrait.

Let $f$ be a Stieltjes transform. If $H_f$ is an extension to $(\mathbf{C}\setminus {\mathbf{R}}^{*}\cup \{\infty \left\}\right)$ of $f(z^{-1}$, for every Banach space $X$ and every closed densely defined operator $V$ on $X$ with a resolvent set containing ${\mathbf{R}}^{*}$ and satisfying the condition ${sup}_{\lambda >0}\parallel (I+\lambda V{)}^{-1}\parallel <\infty$, we define on $X$ an operator $H_f\left(V\right)$ which has similar properties as $V$. We show that ${\sigma }^e[H_f\left(V\right)]=H_f[{\sigma }^e\left(V\right)]$ (where ${\sigma }^e$ is the extended spectrum). Furthermore, the operator $H_f$ has excellent stability properties. For example, when $f\ne 0$ and $V$ is an abstract potential, $H_f\left(V\right)$ is an abstract potential also.

[1] V. Balakrishnan, Fractional powers of closed operators and the semi-groups generated by them, Pacific J. Math., t. 10, 419-437, 1960. | Zbl

[2] J. Faraut, Semi-groupes de mesures complexes et calcul symbolique sur les générateurs infinitésimaux de semi-groupes d'opérateurs. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 20, 1970, Fasc. 1. | Numdam | MR | Zbl

[3] E. Hille and R. S. Phillips, Functional Analysis and Semi-groups, Colloq. Publ. Amer. Math. Soc., Vol. XXXI, 1957. | MR | Zbl

[4] F. Hirsch, Familles résolvantes, générateurs, cogénérateurs, potentiels. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 22, 1972, Fasc. 1. | Numdam | MR | Zbl

[5] F. Hirsch, Intégrales de résolvantes, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274, 1972, Série A, pp. 303-306. | MR | Zbl

[6] M. Ito, Sur les sommes de noyaux de Dirichlet, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 271, 1970, Série A, pp. 937-940. | MR | Zbl

[7] D. V. Widder, The Laplace Transform, Princeton University Press. Princeton, 1946.

[8] K. Yosida, Functional analysis, Third Printing. Springer-Verlag. Berlin, (1971). | Zbl