Opérateurs hyperboliques à caractéristiques de multiplicité constante
Annales de l'Institut Fourier, Volume 24 (1974) no. 1, pp. 173-202.

Let P be a hyperbolic operator with constant multiplicity characteristics. It is known that the Cauchy problem is not well posed if we do not assume a hypothesis on lower order terms, the so-called Levi’s condition. We prove that this condition implies the possibility of constructing a parametrix for the Cauchy problem using Fourier integral operators. We deduce from it the solvability of the Cauchy problem in the space of C functions and in the Sobolev spaces.

Soit P un opérateur hyperbolique à caractéristiques de multiplicité constante. On sait que le problème de Cauchy est mal posé si on n’impose pas une condition, dite de Lévi, sur les termes d’ordre inférieur. On démontre que cette condition implique la possibilité de construire une paramétrix du problème de Cauchy au moyen des opérateurs intégraux de Fourier. On en déduit la résolubilité du problème de Cauchy dans les fonctions C et dans les espaces de Sobolev.

@article{AIF_1974__24_1_173_0,
     author = {Chazarain, Jacques},
     title = {Op\'erateurs hyperboliques \`a caract\'eristiques de multiplicit\'e constante},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {173--202},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {24},
     number = {1},
     year = {1974},
     doi = {10.5802/aif.497},
     mrnumber = {52 #11338a},
     zbl = {0274.35045},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.497/}
}
TY  - JOUR
AU  - Chazarain, Jacques
TI  - Opérateurs hyperboliques à caractéristiques de multiplicité constante
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1974
SP  - 173
EP  - 202
VL  - 24
IS  - 1
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.497/
DO  - 10.5802/aif.497
LA  - fr
ID  - AIF_1974__24_1_173_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Chazarain, Jacques
%T Opérateurs hyperboliques à caractéristiques de multiplicité constante
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1974
%P 173-202
%V 24
%N 1
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.497/
%R 10.5802/aif.497
%G fr
%F AIF_1974__24_1_173_0
Chazarain, Jacques. Opérateurs hyperboliques à caractéristiques de multiplicité constante. Annales de l'Institut Fourier, Volume 24 (1974) no. 1, pp. 173-202. doi : 10.5802/aif.497. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.497/

[1] J.M. Bony et P. Schapira, Solutions hyperfonctions du problème de Cauchy, Lecture Notes in Math. no 287, Springer-Verlag. | MR | Zbl

[2] J. Chazarain, Le problème de Cauchy pour les opérateurs hyperboliques non stricts qui satisfont à la condition de Lévi, C.R.A.S. p. 1218 (Décembre 1971). | MR | Zbl

[3] J. Chazarain, Sur une classe d'opérateurs à caractéristiques de multiplicité constante, Coll. Inter. C.N.R.S. : Equat. aux Dérivées Partielles, Orsay (1972), Astérisque No 2-3. Voir aussi Ann. Inst. Fourier, 24 (1974).

[4] J.C. De Paris, Problème de Cauchy oscillatoire pour un opérateur différentiel à caractéristiques multiples ; lien avec l'hyperbolicité, J. Math. Pures et Appl., 50 (1971). | MR | Zbl

[5] J.J. Duistermaat et L. Hörmander, Fourier integral operators II, Acta Math., 128 (1972). | MR | Zbl

[6] J.J. Duistermaat, Applications of Fourier integral operators, Séminaire Goulaouic-Schwartz, Ecole Polytechnique (1972). | Numdam | MR | Zbl

[7] G.I. Eskin, The Cauchy problem for hyperbolic systems in convolutions, Trad. Math. USSR Sbornik, Vol. 3 (1967), no 2. | Zbl

[8] H. Flaschka et G. Strang, The correctness of the Cauchy problem, Adv. in Math., 6 (1971). | MR | Zbl

[9] Y. Hamada, On the propagation of singularities of the solution of the Cauchy problem, Publ. RIMS, Kyoto University, Vol. 6 (1970). | MR | Zbl

[10] L. Hörmander, Linear differential operators, Springer, 1963. | Zbl

[11] L. Hörmander, The calculus of Fourier integral operators, Conference on Prospects in Mathematics, Princeton 1970.

[12] L. Hörmander, Fourier integral operators. I, Acta Math., Vol. 127 (1971). | MR | Zbl

[13] A. Lax, On Cauchy's problem for partial differential equations with multiple characteristics, Comm. Pure Appl. Math., 9 (1956). | MR | Zbl

[14] J. Leray et Y. Ohya, Systèmes linéaires hyperboliques non stricts, Colloque de Liège (1964) C.N.R.B. | MR | Zbl

[15] E.E. Levi, Caratteristiche multiple e problema di Cauchy, Ann. di Mat., 16 (1909). | JFM

[16] D. Ludwig, Exact and Asymptotic Solutions of the Cauchy Problem, Comm. Pure Appl. Math., 13 (1960). | MR | Zbl

[17] S. Matsuura, On non strict hyperbolicity, Proc. Conf. Funct. Analysis and Related Topics, Tokyo (1969). | Zbl

[18] S. Mizohata et Y. Ohya, Sur la condition de E.E. Lévi concernant des équations hyperboliques, R.I.M.S. Vol. 4, no 2 (1968), Kyoto University. | MR | Zbl

[18] bis S. Mizohata et Y. Ohya, Sur la condition d'hyperbolicité pour les équations à caractéristiques multiples, II. Jap. J. of Math., Vol. 40 (1971). | MR | Zbl

[19] L. Nirenberg et F. Treves, On local solvability of linear partial differential equation, part II : Sufficient conditions, Comm. Pure Appl. Math., 23 (1970). | MR | Zbl

[20] V.M. Petkov, Condition nécessaire pour que le problème de Cauchy associé à un système hyperbolique à caractéristiques multiples soit correct, Uspeki, 4 (166) 1972, p. 221-222. | Zbl

[21] A. Piriou, Le noyau du problème de Cauchy, Séminaire à Nice (1970).

[22] Y. Ohya, On E.E. Levi's Functions for Hyperbolic Equations with Triple Characteristics, Comm. Pure Appl. Math., 25 (1972). | MR | Zbl

[23] G. Strang, On multiple characteristics and the Levi-Lax conditions for hyperbolicity, Arch. Rat. Mech. Anal., Vol. 33 (1969). | MR | Zbl

[24] M. Yamaguti, Le problème de Cauchy et les opérateurs d'intégrales singulières, Mem. Coll. Sci. Kyoto, 32 (1959). | MR | Zbl

Cited by Sources: