Fonctions différentiables invariantes sous l'opération d'un groupe réductif

Luna, Domingo

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 1, pp. 33-49.

Soit $\Gamma$ un groupe, soit $\Gamma \to \mathrm{GL}(n,\mathbf{R})$ une représentation complètement réductible de $\Gamma$, et soit $p_1,...,p_m$ un système de générateurs de l’algèbre des fonctions polynômes sur ${\mathbf{R}}^n$, invariantes par $\Gamma$. Dans l’article on démontre que toute fonction analytique sur ${\mathbf{R}}^n$, invariante par $\Gamma$, peut s’écrire comme fonction analytique en $p_1,...,p_m$ ; on obtient également un résultat analogue pour les fonctions indéfiniment différentiables.

Let $\Gamma$ be a group, let $\Gamma \to \mathrm{GL}(n,\mathbf{R})$ be a completely reducible representation of $\Gamma$, and let $p_1,...,p_m$ be a system of generators of the algebra of $\Gamma$-invariant polynomial functions on ${\mathbf{R}}^n$. In the article it is proved that every $\Gamma$-invariant analytic function on ${\mathbf{R}}^n$ can be written as analytic function in $p_1,...,p_m$; there is also obtained an analogous result on smooth functions.

[1] H. Grauert, On Levi's Problem and the Imbedding of Real-Analytic Manifolds, Ann. of Math., 68 (1958), 460-472. | MR | Zbl

[2] R.C. Gunning, H. Rossi, Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall, (1965). | MR | Zbl

[3] D. Luna, Slices étales, Bull. Soc. Math. de France, Mémoire 33 (1973), 81-105. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] D. Luna, Sur certaines opérations différentiables des groupes de Lie, Amer. J. Math., 97 (1975), 172-181. | MR | Zbl

[5] G.W. Schwarz, Smooth Functions Invariant Under the Action of a Compact Lie Group, Topology, 14 (1975), 63-68. | MR | Zbl