Approximation par des opérateurs compacts ou faiblement compacts à valeurs dans $C\left(X\right)$

Fakhoury, Hicham

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 4, pp. 147-167.

Soient $W=L^{\prime }\left(\mu \right)$ et $V=C\left(X\right)$. Il existe une application (non linéaire) normiquement continue $T\mapsto P\left(T\right)$ de l’espace des opérateurs bornés de $W$ dans $V$ sur l’espace des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts) de $W$ dans $V$ telle que $\parallel T-P\left(T\right)\parallel$ coïncide avec la distance de $T$ au sous-espace formé des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts). Pour un opérateur donné $T$ de $W$ dans $V$ on étudie les propriétés de l’ensemble $\mathbf{K}\left(T\right)$ (resp. $\mathbf{F}\left(T\right)$) des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts) tel que pour tout $\mathbf{R}$ de $\mathbf{K}\left(T\right)$ (resp. $\mathbf{K}\left(T\right)$) la quantité $\parallel T-R\parallel$ coïncide avec la distance de $T$ à un sous-espace des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts).

Let $W=L^{\prime }\left(\mu \right)$ and $V=C\left(X\right)$. There exists a, non linear, norm continuous, nearest point projection from the space $\mathbf{L}(W,V)$ of bounded linear operators from $W$ into $V$, to the subspace $\mathbf{K}(W,V)$ of compact (resp. $\mathbf{F}(W,V)$ of weakly compact) operators : that is a map $P$ from $\mathbf{L}(W,V)$ into $\mathbf{K}(W,V)$ (resp. $\mathbf{F}(W,V)$) satisfying $\parallel T-P\left(T\right)\parallel =inf\{\parallel T-R\parallel ;R\in \mathbf{K}(W,V\left)\right\}$ (resp. $inf\{\parallel T-R\parallel ;R\in \mathbf{F}(W,V\left)\right\}$). In a latter part we study the sets $\mathbf{K}\left(T\right)$ and $\mathbf{F}\left(T\right)$ of approximants for a given operator $T$ in $\mathbf{L}(W,V)$, and we prove that these sets have always an empty interior and, that under certain hypothesis, no extrem points.

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