Théorie des distributions à valeurs vectorielles. I

Schwartz, Laurent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 7 (1957), pp. 1-141.

Ce travail a pour but l’extension aux distributions à valeurs vectorielles des principales propriétés des distributions scalaires (Théorie des distributions, Paris, Hermann, 1950–51, et nouvelle édition du tome I, 1957).

Soit $E$ un espace vectoriel topologique localement convexe séparé quasi-complet. L’espace ${𝒟}^{\prime }\left(E\right)$ des distributions sur ${\mathbf{R}}^n$ à valeurs dans $E$ est par définition l’espace $ℒ(𝒟;E)$ des applications linéaires continues de $𝒟$ dans $E$, $𝒟$ étant l’espace des fonctions numériques indéfiniment dérivables à support compact sur ${\mathbf{R}}^n$. On peut remplacer ${𝒟}^{\prime }$ par d’autres espaces : ${ℰ}^{\prime }$, ${𝒮}^{\prime }$, etc...

Le chapitre I étudie toutes les opérations ne faisant intervenir qu’une distribution vectorielle et une ou plusieurs distributions scalaires.

Le paragraphe 1 définit un espace $L\epsilon M$ associé à deux espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés arbitraires ; alors ${𝒟}^{\prime }\left(E\right)$ n’est autre que ${𝒟}^{\prime }\epsilon E$. Si $\mathscr{H}$ est un sous-espace de ${𝒟}^{\prime }$, muni d’une topologie plus fine que la topologie induite, on définit alors le sous-espace. $\mathscr{H}\left(E\right)$ de $𝒟\left(E\right)$ comme étant $\mathscr{H}\epsilon E$. Si $\overrightarrow{T}\in ℒ(𝒟;E)$, sa transformée ${}^t\overrightarrow{T}$ est une application linéaire continue de $E_c^{\prime }$ dans ${𝒟}^{\prime }$ ($E_c^{\prime }$ est le dual de $E$, muni de la topologie de la convergence compacte). ${}^t\overrightarrow{T}\left(\overleftarrow{e^{\prime }}\right)$ se notera aussi $\langle \overrightarrow{T},\overleftarrow{e^{\prime }}\rangle$, pour $e^{\prime }\in E^{\prime }$. Alors on dira qu’une distribution $\overrightarrow{T}\in {𝒟}^{\prime }\left(E\right)$ appartient scalairement à $\mathscr{H}$ appartient à $\mathscr{H}\left(E\right)$ ; les espaces de distribution $𝒟,{𝒟}^{\prime },ℰ,{ℰ}^{\prime },𝒮,{𝒮}^{\prime }$, ont la propriété $\epsilon$.

Soient $\mathscr{H},{\mathscr{H}}^{\prime }$, deux espaces de distributions en dualité (par exemple $𝒮,{𝒮}^{\prime }$). Alors si $S\in \mathscr{H}$, $T\in {\mathscr{H}}^{\prime }$, on peut définir un produit scalaire $S·T$, nombre complexe. Si maintenant $\overrightarrow{S}\in \mathscr{H}\left(E\right)$, $T\in {\mathscr{H}}^{\prime }$, on peut définir $\overrightarrow{S}·T\in E$, et cette extension du produit scalaire a les propriétés d’hypocontinuité qu’on attend.

On peut de même étendre le produit multiplicatif, et définir par exemple $\alpha \overrightarrow{T}\in {𝒮}^{\prime }\left(E\right)$ pour $\alpha \in {𝒪}_M$, $\overrightarrow{T}\in {𝒮}^{\prime }\left(E\right)$, et le produit de convolution et définir par exemple $S*\overrightarrow{T}\in {𝒮}^{\prime }\left(E\right)$ pour $S\in {𝒪}_c^{\prime }$, $\overrightarrow{T}\in {𝒮}^{\prime }\left(E\right)$. L’image Fourier d’une distribution tempérée $\overrightarrow{T}\in {𝒮}^{\prime }\left(E\right)$ se définit par $ℱ\overrightarrow{T}\left(\gamma \right)=\overrightarrow{T}\left(ℱ\varphi \right)$ pour toute $\varphi \in 𝒮$, ou par $\langle ℱ\overrightarrow{T},\overleftarrow{e^{\prime }}\rangle =ℱ\langle \overrightarrow{T},\overleftarrow{e^{\prime }}\rangle$ pour tout $\overleftarrow{e^{\prime }}\in E^{\prime }$ ; la transformation de Fourier ainsi étendue échange multiplication et convolution.

Le chapitre I étudie longuement le cas où $E$ est lui-même un espace de distributions (théorie des noyaux). Si ${\mathscr{H}=𝒟}_{L^1}^{\prime }$, $E$ quelconque $\overrightarrow{T}\in {𝒟}_{L^1}^{\prime }\left(E\right)$ est dite sommable sur $R^n$ ; si $\mathscr{H}=({𝒟}_{L^1}^{\prime }{)}_x$ et $E={𝒟}_y^{\prime }$, $T\in \left(D_{L^1}^{\prime }{)}_x\right({𝒟}_y^{\prime })$ est dite partiellement sommable en $x$. Diverses applications aux opérations définies antérieurement sont étudiées.

Le chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologiques sur un produit tensoriel $L\otimes M$ ; on note ces topologies par $L{\otimes }_{\lambda }M$, où $\lambda$ est l’une des 5 lettres $t,\gamma ,\beta ,\pi ,\epsilon$. Soient alors $L,M,U,V$, 4 espaces vectoriels quasi-complets.

Pour $\xi \in L{\stackrel{\cap }{\otimes }}_{\lambda }U$, $\eta \in M{\stackrel{\cap }{\otimes }}_{t}V$, on peut définir “un produit croisé” ${\Gamma }_{\mu ,\lambda }(\xi ,\eta )\in (L{\stackrel{\cap }{\otimes }}_{\mu }M){\stackrel{\cap }{\otimes }}_{\epsilon }(U{\stackrel{\cap }{\otimes }}_{\lambda }V)$, dont on étudie systématiquement les propriétés.

Plus généralement si $\varphi ,\chi ,\psi ,\omega$, sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour $\xi \in L{\stackrel{\cap }{\otimes }}_{\varphi }U$, $\eta \in M{\stackrel{\cap }{\otimes }}_{\chi }V$, un produit croisé appartenant à $(L{\stackrel{\cap }{\otimes }}_{\psi }M){\stackrel{\cap }{\otimes }}_{\epsilon }(U{\otimes }_{\omega }V)$.

Ce produit croisé peut être appliqué aux différentes produits de 2 distributions à valeurs vectorielles.

Soient $E$, $F$, $G$, 3 espaces de Banach, et soit $B$ une application bilinéaire continue de $E\times F$ dans $G$. Soient d’autre part $\mathscr{H},𝒦,ℒ$, 3 espaces de distributions, et soit $U$ une application bilinéaire hypocontinue $(S·T\to S\cup T$ de $\mathscr{H}\times 𝒦$ dans $ℒ$ (par exemple le produit scalaire $S·T$ si $𝒦={\mathscr{H}}^{\prime }$, $ℒ=$ corps des scalaires ; le produit multiplicatif si $\mathscr{H}={𝒮}^{\prime }$, $𝒦=O_M$, $ℒ={𝒮}^{\prime }$ ; le produit de convolution si $\mathscr{H}={𝒮}^{\prime }$, $𝒦=O_c^{\prime }$, $ℒ={𝒮}^{\prime }$. Alors, si l’espace $\mathscr{H}$ est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé $\overrightarrow{S}{\cup }_B\overrightarrow{T}\in ℒ\left(G\right)$, pour $\overrightarrow{𝒮}\in \mathscr{H}\left(E\right)$, $\overrightarrow{T}\in 𝒦\left(F\right)$ ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.

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