L’objet du mémoire est l’extension des propriétés classiques des espaces de Banach à deux catégories d’espaces plus vastes, qui interviennent de manière essentielle dans la théorie des Distributions : les espaces , qui sont définis comme les espaces localement convexes, métrisables et complets, et les espaces qui s’obtiennent à partir des espaces par un processus de “limite inductive” : un tel espace est réunion d’une suite croissante d’espaces , muni de la topologie la plus fine induisant sur chacun des sa topologie propre. Pour un tel espace , on définit son dual comme l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires continues dans , et on pose pour , . Pour développer la théorie de la dualité, on munit d’une topologie (dite topologie forte) définie de la façon suivante : un ensemble dans un espace vectoriel topologique étant dit borné quand tout voisinage de contient un homothétique de (dans un rapport assez petit), la topologie forte sur est la topologie de la convergence uniforme des formes linéaires dans tous les ensembles bornés de . Il y a alors une dualité remarquable entre ensembles bornés et voisinages de 0 dans les deux espaces et : appelons polaire d’un ensemble (resp. ) l’ensemble (resp. ) formé des (resp. ) tels que pour tout (resp. tout ) ; alors les polaires des ensembles bornés dans (resp. ) sont les voisinages de 0 dans (resp. ) et réciproquement. Grâce à cette propriété fondamentale, on peut développer, comme dans les espaces de Banach, les relations entre dualité forte et dualité faible, obtenir entre autres la condition pour qu’un espace ou soit réflexif (c’est-à-dire identique au dual de son dual fort), étudier la dualité des sous-espaces et espaces quotients, et les fonctions linéaires et bilinéaires définies dans des espaces ou ou dans leurs duals ; les résultats généralisant presque complètement les propriétés correspondantes des espaces de Banach.
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Dieudonné, Jean; Schwartz, Laurent. La dualité dans les espaces $({\mathcal {F}})$ et $({\mathcal {L}}{\mathcal {F}})$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 1 (1949), pp. 61-101. doi : 10.5802/aif.8. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.8/
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