Ce travail a pour but l’extension aux distributions à valeurs vectorielles des principales propriétés des distributions scalaires (Théorie des distributions, Paris, Hermann, 1950–51, et nouvelle édition du tome I, 1957).
Soit un espace vectoriel topologique localement convexe séparé quasi-complet. L’espace des distributions sur à valeurs dans est par définition l’espace des applications linéaires continues de dans , étant l’espace des fonctions numériques indéfiniment dérivables à support compact sur . On peut remplacer par d’autres espaces : , , etc...
Le chapitre I étudie toutes les opérations ne faisant intervenir qu’une distribution vectorielle et une ou plusieurs distributions scalaires.
Le paragraphe 1 définit un espace associé à deux espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés arbitraires ; alors n’est autre que . Si est un sous-espace de , muni d’une topologie plus fine que la topologie induite, on définit alors le sous-espace. de comme étant . Si , sa transformée est une application linéaire continue de dans ( est le dual de , muni de la topologie de la convergence compacte). se notera aussi , pour . Alors on dira qu’une distribution appartient scalairement à appartient à ; les espaces de distribution , ont la propriété .
Soient , deux espaces de distributions en dualité (par exemple ). Alors si , , on peut définir un produit scalaire , nombre complexe. Si maintenant , , on peut définir , et cette extension du produit scalaire a les propriétés d’hypocontinuité qu’on attend.
On peut de même étendre le produit multiplicatif, et définir par exemple pour , , et le produit de convolution et définir par exemple pour , . L’image Fourier d’une distribution tempérée se définit par pour toute , ou par pour tout ; la transformation de Fourier ainsi étendue échange multiplication et convolution.
Le chapitre I étudie longuement le cas où est lui-même un espace de distributions (théorie des noyaux). Si , quelconque est dite sommable sur ; si et , est dite partiellement sommable en . Diverses applications aux opérations définies antérieurement sont étudiées.
Le chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologiques sur un produit tensoriel ; on note ces topologies par , où est l’une des 5 lettres . Soient alors , 4 espaces vectoriels quasi-complets.
Pour , , on peut définir “un produit croisé” , dont on étudie systématiquement les propriétés.
Plus généralement si , sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour , , un produit croisé appartenant à .
Ce produit croisé peut être appliqué aux différentes produits de 2 distributions à valeurs vectorielles.
Soient , , , 3 espaces de Banach, et soit une application bilinéaire continue de dans . Soient d’autre part , 3 espaces de distributions, et soit une application bilinéaire hypocontinue de dans (par exemple le produit scalaire si , corps des scalaires ; le produit multiplicatif si , , ; le produit de convolution si , , . Alors, si l’espace est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé , pour , ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.
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Schwartz, Laurent. Théorie des distributions à valeurs vectorielles. I. Annales de l'Institut Fourier, Volume 7 (1957), pp. 1-141. doi : 10.5802/aif.68. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.68/
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