Quelques théorèmes de base normale d'entiers

Cassou-Noguès, Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 3, pp. 1-33.

On étudie l’ordre de l’élément défini dans le groupe des classes $C\left(\mathbf{Z}\right[\Gamma \left]\right)$ par l’anneau des entiers d’une extension galoisienne finie et modérément ramifiée $N$ d’un corps de nombres $K$, de groupe de Galois $\Gamma$. On démontre que cet ordre divise $[N:K]$ et que pour certains groupes $\Gamma$, métabéliens ou quaternioniens il est égal à 1 ou 2 suivant le signe des constantes de l’équation fonctionnelle des séries $L$-d’Artin associées aux caractères symplectiques de $\Gamma$. On en déduit de nouveaux exemples d’extensions $(N/\mathbf{Q})$ qui possèdent une base normale d’entiers.

Let $\Gamma$ be a finite group, $K$ a number field and $N$ a tame Galois extension of $K$ with group $\Gamma$. In the class group $C\left(\mathbf{Z}\right[\Gamma \left]\right)$ we study the order of the class of the ring of integers of $N$. We prove that this order divides $[N:K]$ and that is 1 or 2 when $\Gamma$ is metabelian or quaternionian, this depending on the Artin root numbers of the symplectic characters of $\Gamma$. We deduce new examples of extensions of $\mathbf{Q}$ with normal integral basis.

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