Sur le rôle de la frontière de R. S. Martin dans la théorie du potentiel

Naïm, Linda

Annales de l'Institut Fourier, Tome 7 (1957), pp. 183-281.

Le présent travail montre le rôle de la frontière de Martin dans deux questions importantes de la théorie du potentiel : allure à la frontière des fonctions surharmoniques $>0$ et problème de Dirichlet.

On considère essentiellement un “espace de Green” $\Omega$, pourvu par définition d’une fonction de Green $G$, et dont la réunion avec la frontière de Martin $\Delta$ est l’espace de Martin $\widehat{\Omega }$. Pour tout point $x_0\in \Delta$, on sait que la fonction de Green “normalisée” $\frac{G(x,y)}{G(x,y_0)}(y\in \Omega ,y_0\text{fixé}\in \Omega )$, notée aussi $K(x,y)$, admet pour $x\to x_0$ une limite $K(x_0,y)$ harmonique $>0$ en $y$, qui correspond biunivoquement à $x_0$ ; $x_0$ et $K(x_0,y)$ sont dits minimaux si toute fonction harmonique $>0$ majorée par $K(x_0,y)$ lui est proportionnelle.

Après un premier chapitre de préliminaires où sont rappelées les notions indispensables pour la suite, on introduit, au chapitre II, la notion nouvelle d’effilement à la frontière de Martin : l’effilement d’un ensemble $E\subset U$ en un point $x_0\in \Delta$ est caractérisé, si $x_0$ est adhérent à $E$, par l’existence d’une mesure $m>0$ sur $\Omega$ telle que

$$\int K(x_0,y\left)dm\right(y)<\underset{x\to x,x\in E_t}{lim\; inf}\int K(x,y)dm\left(y\right).$$

La théorie du balayage fournit des critères essentiels. On en déduit par exemple une caractérisation nouvelle des points minimaux, qui se trouvent être les points de $\Delta$ où $\Omega$ n’est pas effilé. Il en dérive une notion de pseudo-limite, plus faible que la limite selon la topologie de Martin, et utilisée de manière essentielle dans la présente étude ; la pseudo-limite en un point-frontière $x_0$, nécessairement minimal, signifie la limite prise selon le filtre formé par les ensembles de complémentaire effilé en $x_0$.

Le chapitre III étudie l’allure à la frontière $\Delta$ d’une fonction surharmonique $\nu >0$. On montre essentiellement que $\frac{\nu \left(x\right)}{G(x,y_0)}$ admet en tout point minimal une pseudo-limite $>0$ finie en $+\infty$, et que, pour $x_0$ minimal, $\frac{\nu \left(x\right)}{K(x_0,x)}$ admet en $x_0$ une pseudo-limite finie $\ge 0$.

Puis, grâce à une étude de l’extrémisation d’une fonction harmonique $h<0$, on voit que si $\nu$ est un potentiel de Green, $\nu /h$ admet à la frontière une pseudo-limite nulle saut sur un ensemble $h$-négligeable (c’est-à-dire de $h$-mesure harmonique nulle). Le cas particulier du demi-espace est examiné en détail.

Le chapitre IV donne d’abord dans $\widehat{\Omega }$ une forme nouvelle et très améliorée du principe classique du maximum, où la condition-limite est imposée non sur un voisinage du point-frontière, mais seulement sur un ensemble non effilé en ce point.

Puis on étudie l’allure à la frontière de la solution du problème de Dirichlet avec la frontière de Martin, dit aussi problème de Dirichlet-Martin. Ici encore la notion de pseudo-limite se substitue à la limite ordinaire, et permet d’étendre les traits essentiels de la théorie classique.

Un dernier chapitre traite surtout des applications de la frontière de Martin à l’étude axiomatique du problème de Dirichlet pour des frontières générales. On établit l’équivalence de deux axiomatiques connues, et l’on étudie l’allure à la frontière de la solution dans le cas le plus général.

Puis par une correspondance convenable établie entre la frontière de Martin et toute frontière pour laquelle la théorie du problème de Dirichlet est possible, on ramène le problème de Dirichlet, le plus général à un problème analogue relatif à la frontière de Martin, soulignant ainsi le caractère en quelque sorte universel de cette frontière.

Cette correspondance entre les frontières a d’autres applications : par exemple, dans les domaines euclidiens plans ou bornés, les fonctions minimales sont nécessairement non bornées. On achève par quelques résultats généraux dans l’étude d’un phénomène connu “d’action à distance” dans le problème de Dirichlet.

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