Une propriété de la compactification de Martin d'un domaine euclidien

Ancona, Alano

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 4, pp. 71-90.

Si $B$ est une boule ouverte contenue dans le domaine euclidien $\Omega$, tout filtre sur $B$, tendant non tangentiellement vers un point de $\partial \Omega \cap \partial B$, converge vers un point minimal dans le compactifié de Martin de $\Omega$. On donne une application, et une variante dans le cas plan, et on termine par un contre-exemple apportant une solution négative à un problème de R.S. Martin. L’idée générale de l’article est d’établir des variantes des inégalités de Harnack pour déterminer la frontière de Martin du domaine.

If $\Omega$ is an euclidean domain containing an open ball $B$, and $ℱ$ a filter on $B$ converging non-tangentially to a point of $\partial \Omega \cap \partial B$, then $ℱ$ converges to a minimal point in the Martin boundary of $\Omega$. After an application of this result, a counter example is given, solving a problem of R.S. Martin. In both problems, extensions of Harnach inequalities are used to obtain a precise description of the Martin boundary.

[1] A. Ancona, Principe de Harnack à la frontière et théorème de Fatou pour un opérateur elliptique dans un domaine lipschitzien, Annales de l'Institut Fourier, 28, 4 (1978), 169-213. | Numdam | MR | Zbl

[2] M. Brelot, Remarques sur la variation des fonctions harmoniques et les masses associées. Application, Annales de l'Institut Fourier, II (1950), 101-111. | Numdam | MR | Zbl

[3] M. Brelot, Sur le principe des singularités positives et la topologie de R. S. Martin, Annales de l'Université de Grenoble, 23 (1950). | Numdam | Zbl

[4] L. Carleson, On the existence of boundary values for harmonic functions of several variables, Ark. Math., 4 (1962). | MR | Zbl

[5] R. A. Hunt and R. L. Wheeden, On the boundary values of harmonic functions, Trans. Amer, Math. Soc., 132, n° 2 (1968), 307-322. | MR | Zbl

[6] R. A. Hunt and R. L. Wheeden, Positive harmonic functions on Lipschitz domains, Trans. Amer. Math. Soc., 147 (1970), 507-527. | MR | Zbl

[7] H. Kesten, Positive harmonic functions with zero boundary values, à paraître. | Zbl

[8] R. S. Martin, Minimal positive harmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc., 49 (1941), 137-172. | JFM | MR | Zbl

[9] C. De La Vallée Poussin, Propriétés des fonctions harmoniques dans un domaine limité par des surfaces à courbure bornée, Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa, 2, vol. 2 (1933), 167-192. | JFM | Numdam

[10] H. Kesten, Positive harmonic functions with zero boundary values, Proc. Symp. Pure maths, vol XXXV, 1 (1979), 349-352. | MR | Zbl

[11] M. Benedicks, Positive harmonic functions vanishing on the boundary of certain domains of Rn, Report n° 5, Inst. Mittag-Leffler, 1978. | Zbl

[12] A. Ancona, Principe de Harnack à la frontière et problèmes de frontière de Martin, Colloque Franco-Danois de Théorie du Potentiel 1979, Springer, à paraître.