A new setting for potential theory. I

Chung, Kai Lai; Rao, K. Murali

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 3, pp. 167-198.

On étudie un processus de Hunt, transitoire, pour lequel la densité potentielle $u$ satisfait les conditions suivantes : (a) pour chaque $x$, $u(x,y{)}^{-1}$ soit finie continue en $y$; (b) $u(x,y)=+\infty$ si et seulement si $x=y$. Dans des publications antérieures, Chung a établi un principe d’équilibre, et Rao a obtenu une décomposition de type de Riesz pour les fonctions excessives. Ici, nous abordons une étude approfondie sous les mêmes conditions, en particulier la question d’unicité de la décomposition et l’hypothèse (B) de Hunt.

We consider a transient Hunt process in which the potential density $u$ satisfies the conditions: (a) for each $x$, $u(x,y{)}^{-1}$ is finite continuous in $y$; (b) $u(x,y)=+\infty$ iff $x=y$. In earlier papers Chung established an equilibrium principle, and Rao obtained a Riesz of decomposition for excessive functions. We now begin a deeper study under these conditions, including the uniqueness of the decomposition and Hunt’s hypothesis (B).

[1] R.M. Blumenthal and R.K. Getoor, Markov Processes and Potential Theory, Academic Press, 1968. | MR | Zbl

[2] K.L. Chung, Probabilistic approach in potential theory to the equilibrium problem, Ann. Inst. Fourier, 23, 3 (1973), 313-322. | Numdam | MR | Zbl

[3] G.A. Hunt, Markoff processes and potentials I, Illinois J. Math., 1 (1957), 43-93. | MR | Zbl

[4] P.A. Meyer, Probabilités et potentiel, Hermann, 1966. | MR | Zbl

[5] P.A. Meyer, Processus de Markov : la frontière de Martin, Lecture Notes in Mathematics No. 77, Springer-Verlag, (1968). | MR | Zbl

[6] P.A. Meyer, Deux petits résultats de théorie du potentiel, Séminaire de Probabilités V, Lecture Notes in Mathematics No. 191, Springer-Verlag (1971), 211-212. | Numdam

[7] P.A. Meyer, Le Retournement du temps, d'après Chung et Walsh, Séminaire de Probabilités V, Lecture Notes in Mathematics No. 191, Springer-Verlag (1971), 213-236. | Numdam

[8] G. Mokobodzki, Densité relative de deux potentiels comparables, Séminaire de Probabilités IV, Lecture Notes in Mathematics No. 124, Springer-Verlag (1970), 170-194. | Numdam | MR | Zbl

[9] K.M. Rao, Excessive functions as potentials of measures, J. London Math. Soc., 16 (1977), 165-171. | MR | Zbl