On 2-cycles of $B\mathrm{Diff}\left(S^1\right)$ which are represented by foliated $S^1$-bundles over $T^2$

Tsuboi, Takashi

Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981) no. 2, pp. 1-59.

On donne des conditions suffisantes pour qu’un 2-cycle de $B$ Diff$(S^1{)}_d$ (resp. $B$ Diff${}_K(\mathbf{R}{)}_d$) représenté par un espace $S^1$-(resp. $\mathbf{R}$-) fibré feuilleté sur un 2-tore soit homologue à zéro. Un tel cycle est déterminé par deux difféomorphismes $f$, $g$ commutants de $S^1$ (resp. $\mathbf{R}$). Si $f$, $g$ sont des points fixes, ils se décomposent en $f=\pi f_i$, $g=\pi g_i$, où les intérieurs des Supp$\left(f_i\right)\cup$ Supp$\left(g_i\right)$ sont disjoints et où $f_i$ et $g_i$ appartiennent ou bien à $\{h_i^n;n\in \mathbf{Z}\}$ ($h_i\in$ Diff${}^{\infty }$) ou bien à un sous-groupe à un paramètre engendré par un champ de vecteurs ${\xi }_i$ de classe $C^1$. Sous certaines conditions sur les normes de $f_i$, $g_i$ notre théorème montre que le 2-cycle déterminé par $f,g(\in$ Diff${}_K^{\infty }\left(\mathbf{R}\right))$ est homologue à zéro. En particulier, si $f$ et $g$ appartiennent à un sous-groupe à un paramètre engendré par un champ de vecteurs $C^{\infty }$ sur $\mathbf{R}$ de support compact, le 2-cycle est homologue à zéro. Comme corollaire à notre théorème, toute classe d’équivalence topologique d’espace $S^1$-fibré $C^2$-feuilleté sur $T^2$ contient un feuilletage $C^{\infty }$ dont la classe de cobordisme $C^{\infty }$ est nulle. Pour démontrer notre théorème, on démontre que tout élément $f$ de Diff${}_K^{\infty }\left(\mathbf{R}\right)$ s’écrit comme un produit de commutateurs d’éléments dont les supports sont contenus dans Supp$\left(f\right)$.

We give several sufficients conditions for a 2-cycle of $B$ Diff$(S^1{)}_d$ (resp. $B$ Diff${}_K(\mathbf{R}{)}_d$) represented by a foliated $S^1$-(resp. $\mathbf{R}$-) bundle over a 2-torus to be homologous to zero. Such a 2-cycle is determined by two commuting diffeomorphisms $f$, $g$ of $S^1$ (resp. $\mathbf{R}$). If $f$, $g$ have fixed points, we construct decompositions: $f=\pi f_i$, $g=\pi g_i$, where the interiors of Supp$\left(f_i\right)\cup$ Supp$\left(g_i\right)$ are disjoint, and $f_i$ and $g_i$ belong either to $\{h_i^n;n\in \mathbf{Z}\}$ ($h_i\in$ Diff${}^{\infty }$) or to a one-parameter subgroup generated by a $C^1$-vectorfield ${\xi }_i$. Under some conditions on the norms of $f_i$ and $g_i$ our theorem says that the 2-cycle determined by $f,g(\in$ Diff${}_K^{\infty }\left(\mathbf{R}\right))$ is homologous to zero. In particular, if $f$ and $g$ belong to a one-parameter subgroup generated by a smooth vectorfield on $\mathbf{R}$ with compact support, our 2-cycle is homologous to zero. As a corollary to our theorem, every topological equivalence class of $C^2$-foliated $S^1$-bundles over $T^2$ has a $C^{\infty }$-foliation which is $C^{\infty }$-foliated cobordant to zero. To prove our theorem, we show that every element $f$ of Diff${}_K^{\infty }\left(\mathbf{R}\right)$ is written as a product of commutators of elements whose supports are contained in Supp$\left(f\right)$.

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