Opérateurs différentiels hypoelliptiques

Trèves, François

Annales de l'Institut Fourier, Tome 9 (1959), pp. 1-73.

On établit une condition suffisante pour qu’un opérateur différentiel à coefficients indéfiniment différentiable sur un ouvert de ${\mathbf{R}}^n$ y soit hypoelliptique. La démonstration, exposée au chapitre III, utilise divers espaces fonctionnels, qui sont étudiés au chapitre I. On prouve que ce critère implique celui de MM. Hörmander et Malgrange, qui affirme l’hypoellipticité des opérateurs formellement hypoelliptiques. Considérons un opérateur différentiel sur ${\mathbf{R}}_x^n$, $P(\nu ,D_x)$, dont les coefficients sont constants par rapport à $x$, mais sont des fonctions ${\mathbf{C}}^{\infty }$ du point $\nu$ d’un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$. L’opérateur à coefficients variables associé, $P(x,D)$, est dit formellement hypoelliptique dans $\Omega$ si $P(\nu ,D)$ est hypoelliptique pour chaque $\nu$ et si, pour deux points ${\nu }_1,{\nu }_2$ quelconques de $\Omega$, $P({\nu }_1,D)$ et $P({\nu }_2,D)$ sont équivalents au sens d’Hörmander. Que notre critère soit plus fort que celui d’Hörmander et Malgrange provient essentiellement du fait, établi dans le chapitre II, que sous les conditions ci-dessus, il existe une fonction ${\mathbf{C}}^{\infty }E\left(\nu \right)$ de $\nu$, à valeurs dans l’espace des opérateurs continus de $L_c^2$ dans $L_{\mathrm{loc}}^2$, qui, pour chaque $\nu$, constitue un inverse de $P(\nu ,D)$. Dans la seconde partie du chapitre II, nous prouvons une réciproque de ce résultat. Enfin, nous exhibons l’exemple d’un opérateur différentiel qui satisfait notre critère, et qui est donc hypoelliptique, mais qu’aucun changement de coordonnées ne peut ramener au type formellement hypoelliptique.

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