Let be an imaginary quadratic field, let and be its two natural -extensions (the cyclotomic and the prodiedral one), and let be its 2-Hilbert class field. Let be the completion of at 2, or 1 equals 1 if and only if all odd divisors of are congruent to mod 8, or 1 be the 2-rank of Gal, and or 2 be the 2-rank of Gal. We have , and some elementary cohomological facts give other constraints between , and , but we find 2 additional obstructions of arithmetical kind which allow us to obtain the classification of the fields with regard to the invariants (19 cases, 17 of which are such that ). All these results are based on the description of Gal by mean of a suitable logarithm function on the ideal group of , defined and studied in 2 papers in Crelles Journal.
Soit un corps quadratique imaginaire, soient et ses deux -extensions naturelles (la cyclotomique et la prodiédrale), et soit son 2-corps de classes de Hilbert. Soient le complété en 2 de , ou 1, égale à 1 si et seulement si tout diviseur impair de est congru à , ou 1 le 2-rang de Gal, et ou 2 le 2-rang de Gal On a , et des considérations cohomologiques élémentaires nous donnent d’autres contraintes entre , et , mais nous trouvons 2 obstructions supplémentaires de nature arithmétique, ce qui nous permet d’obtenir la classification des corps par rapport aux invariants (19 cas dont 17 sont tels que ). Tous ces résultats reposent sur la description de Gal au moyen d’une fonction logarithme convenable sur le groupe des idéaux de , définie et étudiée dans 2 articles au Journal de Crelle.
@article{AIF_1983__33_4_1_0, author = {Gras, Georges}, title = {Sur les ${\bf Z}_2$-extensions d{\textquoteright}un corps quadratique imaginaire}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {1--18}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {33}, number = {4}, year = {1983}, doi = {10.5802/aif.939}, mrnumber = {85b:11091}, zbl = {0501.12016}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.939/} }
TY - JOUR AU - Gras, Georges TI - Sur les ${\bf Z}_2$-extensions d’un corps quadratique imaginaire JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1983 SP - 1 EP - 18 VL - 33 IS - 4 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.939/ DO - 10.5802/aif.939 LA - fr ID - AIF_1983__33_4_1_0 ER -
Gras, Georges. Sur les ${\bf Z}_2$-extensions d’un corps quadratique imaginaire. Annales de l'Institut Fourier, Volume 33 (1983) no. 4, pp. 1-18. doi : 10.5802/aif.939. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.939/
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,[6] Groupe de Galois de la p-extension abélienne p-ramifiée maximale d'un corps de nombres, Journal de Crelle, 333 (1982), 86-132. | MR | Zbl
,Cited by Sources: