Phénomènes de perturbation singulière dans les problèmes aux limites

Huet, Denise

Annales de l'Institut Fourier, Tome 10 (1960), pp. 61-150.

Ce travail apporte, par utilisation systématique de la méthode de résolution des problèmes aux limites de M. Lions, une contribution à l’étude de deux problèmes de perturbation singulière, qui entrent dans un nombre important de problèmes de physique mathématique et de mécanique.

Problème 1 (Chapitre I) : Soit $B_{\epsilon }$ une famille d’opérateurs elliptiques dépendant du paramètre réel positif $\epsilon$, et se réduisant, pour $\epsilon =0$, à un opérateur elliptique $B$, d’ordre inférieur à celui des $B_{\epsilon }$. On montre que, sous des hypothèses convenables, lorsque $\epsilon \to 0$, la solution $u_{\epsilon }$ d’un problème aux limites sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$, relatif à $B_{\epsilon }{u}_{\epsilon }=f$, converge vers la solution $u$ d’un problème aux limites sur $\Omega$, relatif à $Bu=f$, où $f$ est donnée. Exemples d’applications aux équations aux dérivées partielles. Amélioration de la convergence, localement et à la frontière, par utilisation des résultats de Friedrichs, Nirenberg et Browder. Convergence des valeurs propres et des fonctions propres de $B_{\epsilon }$.

Problème 2 (Chapitre II) : Désignons par $t$ une variable réelle $\ge 0$, appelée temps, par $D$ l’opérateur $(\partial /\partial t)$. Soit $B_{\epsilon }\left(t\right)$ une famille d’opérateurs différentiels elliptiques en $x(x\in {\mathbf{R}}^n)$, dépendant du temps, se réduisant, pour $\epsilon =0$, à un opérateur différentiel elliptique en $x$, $B\left(t\right)$, dépendant du temps, d’ordre inférieur à celui des $B_{\epsilon }\left(t\right)$. Étude de la convergence, quand $\epsilon \to 0$, de la solution $u_{\epsilon }\left(t\right)$ d’un problème mixte fin relatif à $B_{\epsilon }\left(t\right)u_{\epsilon }\left(t\right)+D{u}_{\epsilon }\left(t\right)$ (resp. $D^2{u}_{\epsilon }\left(t\right)$) $=h\left(t\right)$, vers la solution $u\left(t\right)$, d’un problème mixte fin relatif à $B\left(t\right)u\left(t\right)+Du\left(t\right)$ (resp. $D^{2}u\left(t\right)$) $=h\left(t\right)$ où $h\left(t\right)$ est donnée. Application aux équations aux dérivées partielles, et, lorsque $B_{\epsilon }$ ne dépend pas de $t$, aux semi-groupes.

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