Unique continuation for Schrödinger operators in dimension three or less

Sawyer, Eric T.

Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 3, pp. 189-200.

We show that the differential inequality $\left|\Delta u\right|\le v\left|u\right|$ has the unique continuation property relative to the Sobolev space $H_{loc}^{2,1}\left(\Omega \right)$, $\Omega \subset R^n$, $n\le 3$, if $v$ satisfies the condition

$$(K_n^{\mathrm{loc}})\underset{r\to 0}{lim}\underset{x\in K}{sup}{\int }_{|x-y|<r}|x-y{|}^{2-n}v\left(y\right)dy=0$$

for all compact $K\subset \Omega$, where if $n=2$, we replace $|x-y{|}^{2-n}$ by $-log|x-y|$. This resolves a conjecture of B. Simon on unique continuation for Schrödinger operators, $H=-\Delta +v$, in the case $n\le 3$. The proof uses Carleman’s approach together with the following pointwise inequality valid for all $N=0,1,2,...$ and any $u\in H_c^{2,1}({\mathbf{R}}^3-\left\{0\right\}),$

$$\frac{\left|u\right(x\left)\right|}{|x{|}^N}\le C{\int }_{{\mathbf{R}}^3}|x-y{|}^{-1}\frac{\left|\Delta u\right(y\left)\right|}{|y{|}^N}dy\text{for}\text{a.e.}x\text{in}{\mathbf{R}}^3.$$

Nous démontrons que l’inégalité différentielle $\left|\Delta u\right|\le v\left|u\right|$ a la propriété de prolongement unique se rapportant à l’espace Sobolev $H_{loc}^{2,1}\left(\Omega \right)$, $\Omega \subset R^n$, $n\le 3$, si $v$ satisfait la condition

$$(K_n^{\mathrm{loc}})\underset{r\to 0}{lim}\underset{x\in K}{sup}{\int }_{|x-y|<r}|x-y{|}^{2-n}v\left(y\right)dy=0$$

pour tout compact $K\subset \Omega$, où, si $n=2$, nous remplaçons $|x-y{|}^{2-n}$ par $-log|x-y|$. Ceci résout une conjecture par B. Simon ayant trait au prolongement unique pour les opérateurs de Schrödinger, $H=-\Delta +v$, dans le cas où $n\le 3$. La preuve utilise une approche du type Carleman de concours avec l’inégalité suivante, valable pour tout $N=0,1,2,...$ et n’importe quel $u\in H_c^{2,1}({\mathbf{R}}^3-\left\{0\right\}),$

$$\frac{\left|u\right(x\left)\right|}{|x{|}^N}\le C{\int }_{{\mathbf{R}}^3}|x-y{|}^{-1}\frac{\left|\Delta u\right(y\left)\right|}{|y{|}^N}dy\text{for}\text{a.e.}x\text{in}{\mathbf{R}}^3.$$

[1] W.O. Amrein, A.M. Berthier and V. Georgescu, Lp inequalities for the Laplacian and unique continuation, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 31-3 (1981), 153-168. | Numdam | MR | Zbl

[2] A.M. Berthier, Sur le spectre ponctuel de l'opérateur de Schrödinger, C.R.A.S., Paris, 290A (1980), 393-395. | MR | Zbl

[3] T. Carleman, Sur un problème d'unicité pour les systèmes d'équations aux dérivés partielles à deux variables indépendantes, Ark. Mat., 26B (1939), 1-9. | MR | Zbl

[4] V. Georgescu, On the unique continuation property for Schrödinger Hamiltonians, Helv. Phys. Acta, 52 (1979), 655-670.

[5] E. Heinz, Uber die Eindeutigkeit beim Cauchy'schen Anfangswertproblem einer elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung, Nachr. Akad.-Wiss. Göttingen, II (1955), 1-12. | MR | Zbl

[6] L. Hormander, Linear Partial Differential Operators, Springer, Berlin, 1963. | MR | Zbl

[7] R. Kerman and E. Sawyer, Weighted norm inequalities of trace-type for potential operators, preprint.

[8] V.G. Maz'Ya, Imbedding theorems and their applications, Baku Sympos. (1966), “Nauka”, Moscow, (1970), 142-154 (Russian).

[9] V.G. Maz'Ya, On some integral inequalities for functions of several variables, Problems in Math. Analysis, No 3 (1972) Leningrad U. (Russian).

[10] M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, IV. Analysis of Operators, Academic Press, New York, 1978. | Zbl

[11] J. Saut and B. Scheurer, Un théorème de prolongement unique pour des opérators elliptiques dont les coefficients ne sont pas localement bornés, C.R.A.S., Paris, 290A (1980), 595-598. | MR | Zbl

[12] M. Schechter and B. Simon, Unique continuation for Schrödinger operators with unbounded potentials, J. Math. Anal. Appl., 77 (1980), 482-492. | MR | Zbl

[13] B. Simon, Schrödinger semigroups, Bull. A.M.S., 7 (1982), 447-526. | MR | Zbl

[14] E.M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, Princeton, N.J. 1970. | MR | Zbl