Quelques conséquences locales de la théorie de Hodge

Loeser, François

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 1, pp. 75-92.

Un résultat de positivité de théorie de Hodge nous permet de déterminer certaines pôles de la distribution $|f{|}^{2z}$ pour $f$ une fonction analytique à singularité isolée. Dans le cas des courbes et des singularités quasi-homogènes on détermine l’ensemble exact des pôles. On démontre aussi que si le résidu d’une forme holomorphe est de carré intégrable sur la fibre spéciale, l’intégrale sur la fibre spéciale est limite de celle sur les fibres voisines.

A positivity result from Hodge theory permits us to give some poles of the distribution $|f{|}^{2z}$, for $f$ an analytic function with isolated singularity. In the case of curves and of quasi homogeneous singularities the whole set of poles is given. We also prove that if the residue of a holomorphic form is square integrable on the special fiber, the integral on the special fibre is the limit of the integral on near by fibers.

[1] D. Barlet, Développement asymptotique des fonctions obtenues par intégration dans les fibres, Inventiones Math., 68 (1982), 129-174. | MR | Zbl

[2] D. Barlet, Contribution effective de la monodromie aux développements asymptotiques, Annales Sc. E.N.S., 4è série, t. 17 (1984), 293-315. | Numdam | MR | Zbl

[3] D. Barlet, Forme hermitienne canonique sur la cohomologie de la fibre de Milnor d'une hypersurface à singularité isolée, Institut Elie Cartan, Septembre 1983 (Nouvelle version Septembre 1984).

[4] D. Barlet, Contribution du cup-produit de la fibre de Milnor aux pôles de |f|2z. Preprint Institut Elie Cartan. (Sept. 1983) à paraître aux Annales Institut Fourier (1984). | Numdam | Zbl

[5] E. Cattani et A. Kaplan, Polarized Mixed Hodge Structures and the local monodromy of a variation of Hodge Structure, Inventiones Math., 67 (1982), 101-115. | MR | Zbl

[6] P. Griffiths et W. Schmid, Recent developments in Hodge Theory, a discussion of techniques and results in Discrete Subgroups of Lie Groups and Applications to moduli p. 31-124, Oxford Univers. Press 1975. | MR | Zbl

[7] H. Laufer, On rational singularities, Am. J. Math., 94 (1972), 597-608. | MR | Zbl

[8] K.C. Lo, Exposants de Gauss-Manin. Singularités des systèmes différentiels de Gauss-Manin, Progress in Math., 2 (1979), 171-212.

[9] B. Malgrange, Intégrales asymptotiques et monodromie, Ann. Sci. E.N.S. (4) 7 (1974), 405-430. | Numdam | MR | Zbl

[10] B. Malgrange, Le polynôme de Bernstein d'une singularité isolée, Springer Lecture Notes, 459 (1975), 98-115. | MR | Zbl

[11] M. Merle et B. Teissier, Conditions d'adjonction. Lecture Notes 777 p. 229-246. | Numdam | Zbl

[12] F. Pham, Structures de Hodge mixtes associées à un germe de fonction à point critique isolé, Astérisque, 101-102 (1983), 268-285. | Numdam | MR | Zbl

[13] M. Saito, Exponents and the geometric genus of a isolated hypersurface singularity. Proceedings of Symposia in Pure Maths Volume 40 (1983), Part 2. p. 465-472. | MR | Zbl

[14] J. Scherk, On the monodromy theorem for isolated hypersurface singularities, Inventiones Math., 58 (1980), 289-301. | MR | Zbl

[15] W. Schmid, Variation of Hodge structure : The singularities of the period mapping, Inventiones Math., 22 (1973), 211-319. | MR | Zbl

[16] J. Steenbrink, Mixed Hodge structure on the vanishing cohomology. Real and complex singularities, Oslo 1976, p. 525-563. | MR | Zbl

[17] A. Varchenko, Asymptotic mixed Hodge structure on vanishing cohomology, Izv. Akad. Nauk, 45, 3 (1981), 540-591. | MR | Zbl

[18] A. Varchenko, Asymptotics of holomorphic forms define mixed Hodge structure, Dokl. Akad. Nauk, 255, 5 (1980), 1035-1038. | MR | Zbl

[19] A. Varchenko, Gauss-Manin connection of isolated singular point and Bernstein polynomial, Bull. Soc. Math., 104 (1980), 205-223. | MR | Zbl

[20] S.S.T. Yau, Two theorems on higher dimensional singularities, Math. Annalen, 231 (1977), 55-59. | MR | Zbl

[21] T. Yano, B-Functions and Exponents of hypersurface isolated singularities, Proceedings of Symposia in Pure Maths, Volume 40 (1983), Part. 2 p. 641-652. | MR | Zbl