Fluides incompressibles horizontalement visqueux
Journées équations aux dérivées partielles (2003), article no. 13, 15 p.

Motivé par l'étude des fluides tournants entre deux plaques, nous considérons l'équation tridimensionnelle de Navier-Stokes incompressible avec viscosité verticale nulle. Nous démontrons l'existence locale et l'unicité de la solution dans un espace critique (invariant par le changement d'échelle de l'équation). La solution est globale en temps si la donnée initiale est petite par rapport à la viscosité horizontale. Nous obtenons l'unicité de la solution dans un espace plus grand que l'espace des données pour lesquelles on sait résoudre l'équation. La démonstration s'appuie sur un découpage adapté en fréquences verticales (on estime différemment la partie «basses fréquences» et la partie «hautes fréquences») et sur le contrôle précis de la régularité dans les variables horizontales.

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Paicu, Marius. Fluides incompressibles horizontalement visqueux. Journées équations aux dérivées partielles (2003), article  no. 13, 15 p. doi : 10.5802/jedp.627. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jedp.627/

[1] J.-M. Bony, Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires, Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, 14, 209-246, 1981. | Numdam | MR | Zbl

[2] M. Cannone, Ondelettes, paraproduits et Navier-Stokes, Nouveaux essais, Diderot éditeurs, 1995. | MR | Zbl

[3] J.-Y. Chemin, Fluides Parfaits Incompressibles. Astérisque, 230, 1995. | Numdam | MR | Zbl

[4] J.-Y. Chemin, Théorèmes d'unicité pour le système de Navier-Stokes tridimensionel, Journal d'Analyse Mathématique, 77, p. 27-50, 1999. | MR | Zbl

[5] J.-Y. Chemin et N. Lerner, Flot de champs de vecteurs non Lipschitziens et équations de Navier-Stokes, Journal of Differential Equations, 121, p. 314-328, 1992. | MR | Zbl

[6] J.-Y. Chemin, B. Desjardins, I. Gallagher et E. Grenier, Fluids with anisotropic viscosity, M2AN. Math. Numer. Anal., 34, No. 2, p. 315-335, 2000. | Numdam | MR | Zbl

[7] J.-Y. Chemin, C.-J. Xu, Inclusions de Sobolev en calcul de Weyl-Hormander et champs de vecteurs sous-elliptiques, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 30 (1997), no. 6, 719-751. | Numdam | MR | Zbl

[8] T. M. Fleet, Differential analysis, Cambridge University Press, 1980. | MR | Zbl

[9] H. Fujita et T. Kato, On the Navier-Stokes initial value problem I, Archiv for Rational Mechanic and Analysis, 16, p. 269-315, 1964. | MR | Zbl

[10] E. Grenier, N. Masmoudi, Ekman layers of rotating fluid, the case of well prepared initial data, Comm. Partial Differential Equations, 22, no. 5-6, p. 953-975, 1997. | MR | Zbl

[11] D. Iftimie, Resolution of the Navier-Stokes equations in anisotropic spaces, Revista Matématica Iberoamericana, 15, no. 1, 1-36, 1999. | EuDML | MR | Zbl

[12] D. Iftimie, A Uniqueness result for the Navier-Stokes Equations with vanishing vertical viscosity, à paraître dans SIAM J. Math. Analysis. | MR | Zbl

[13] J. Leray, Sur le mouvement d'un liquide visqueux remplissant l'espace, Acta Math, 63, p. 193-248, 1934. | JFM

[14] M. Paicu, Équation de Navier-Stokes anisotropes dans des espaces critiques, à paraître dans Revista Matématica Iberoamericana. | Zbl

[15] J. Pedlosky, Geophysical Fluid Dynamics, Springer Verlag, New York, 1987. | Zbl

[16] F. Planchon, Global strong solutions in Sobolev or Lebesgue spaces to the incompressible Navier-Stokes equations in R 3 , Annales de l'Institut Henri Poincaré, 13, no. 3, 319-336, 1996. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[17] M. Vishik, Incompressible flows of an ideal fluid with vorticity in borderline spaces of Besov type, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 32 (1999), no. 6, 769-812. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

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