Duality for complexes of tori over a global field of positive characteristic

Demarche, Cyril; Harari, David

doi:10.5802/jep.129

Duality for complexes of tori over a global field of positive characteristic

Demarche, Cyril ¹; Harari, David ²

¹ Université de Paris, Sorbonne Université, CNRS, Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche 75013 Paris, France and Département de mathématiques et applications, École normale supérieure, CNRS, PSL Research University 45 rue d’Ulm, 75005 Paris, France
² Université Paris-Saclay, C.N.R.S., Laboratoire de Mathématiques d’Orsay 91405 Orsay, France

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Volume 7 (2020), pp. 831-870.

Abstract
Résumé

If $K$ is a number field, arithmetic duality theorems for tori and complexes of tori over $K$ are crucial to understand local-global principles for linear algebraic groups over $K$ . When $K$ is a global field of positive characteristic, we prove similar arithmetic duality theorems, including a Poitou-Tate exact sequence for Galois hypercohomology of complexes of tori. One of the main ingredients is the Artin-Mazur-Milne duality theorem for fppf cohomology of finite flat commutative group schemes.

Sur un corps de nombres $K$ , les théorèmes de dualité pour les tores et les complexes de tores sont cruciaux afin de comprendre le principe local-global pour les $K$ -groupes algébriques linéaires. Nous démontrons de tels théorèmes de dualité arithmétique quand $K$ est un corps global de caractéristique $p$ , et en particulier nous établissons une suite de Poitou-Tate pour l’hypercohomologie galoisienne d’un complexe de tores. Un des principaux ingrédients est la dualité d’Artin-Mazur-Milne pour la cohomologie fppf d’un schéma en groupes fini et plat.

Received: 2020-02-11
Accepted: 2020-04-29
Published online: 2020-05-18

DOI: 10.5802/jep.129

Classification: 11E72, 11G20, 14F20, 14H25
Keywords: Artin-Mazur-Milne duality, complex of tori, flat cohomology, Poitou-Tate exact sequence
Mot clés : Dualité d’Artin-Mazur-Milne, complexe de tores, cohomologie plate, suite exacte de Poitou-Tate

Author's affiliations:

Demarche, Cyril ¹; Harari, David ²

@article{JEP_2020__7__831_0,
     author = {Demarche, Cyril and Harari, David},
     title = {Duality for complexes of tori over a~global~field of positive characteristic},
     journal = {Journal de l{\textquoteright}\'Ecole polytechnique {\textemdash} Math\'ematiques},
     pages = {831--870},
     publisher = {Ecole polytechnique},
     volume = {7},
     year = {2020},
     doi = {10.5802/jep.129},
     language = {en},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jep.129/}
}

TY  - JOUR
AU  - Demarche, Cyril
AU  - Harari, David
TI  - Duality for complexes of tori over a global field of positive characteristic
JO  - Journal de l’École polytechnique — Mathématiques
PY  - 2020
SP  - 831
EP  - 870
VL  - 7
PB  - Ecole polytechnique
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jep.129/
DO  - 10.5802/jep.129
LA  - en
ID  - JEP_2020__7__831_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Demarche, Cyril
%A Harari, David
%T Duality for complexes of tori over a global field of positive characteristic
%J Journal de l’École polytechnique — Mathématiques
%D 2020
%P 831-870
%V 7
%I Ecole polytechnique
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jep.129/
%R 10.5802/jep.129
%G en
%F JEP_2020__7__831_0

Demarche, Cyril; Harari, David. Duality for complexes of tori over a global field of positive characteristic. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Volume 7 (2020), pp. 831-870. doi : 10.5802/jep.129. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jep.129/

References
Cited by

[BD13] Borovoi, Mikhail; Demarche, Cyril Manin obstruction to strong approximation for homogeneous spaces, Comment. Math. Helv., Volume 88 (2013) no. 1, pp. 1-54 | DOI | MR | Zbl

[Bor96] Borovoi, Mikhail The Brauer-Manin obstructions for homogeneous spaces with connected or abelian stabilizer, J. reine angew. Math., Volume 473 (1996), pp. 181-194 | DOI | MR | Zbl

[Bou07] Bourbaki, N. Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitre 10, Springer-Verlag, Berlin, 2007 | Zbl

[Ces15] Česnavičius, K. Topology on cohomology of local fields, Forum Math. Sigma, Volume 3 (2015), e16, 55 pages | DOI | MR | Zbl

[Ces17] Česnavičius, K. $p$ -Selmer growth in extensions of degree $p$ , J. London Math. Soc. (2), Volume 95 (2017) no. 3, pp. 833-852 | DOI | MR | Zbl

[Dem11a] Demarche, Cyril Le défaut d’approximation forte dans les groupes linéaires connexes, Proc. London Math. Soc. (3), Volume 102 (2011) no. 3, pp. 563-597 | DOI | MR | Zbl

[Dem11b] Demarche, Cyril Suites de Poitou-Tate pour les complexes de tores à deux termes, Internat. Math. Res. Notices (2011) no. 1, pp. 135-174 (short version of “Théorèmes de dualité pour les complexes de tores”, available at https://webusers.imj-prg.fr/~cyril.demarche/) | DOI | Numdam | MR | Zbl

[DH19] Demarche, Cyril; Harari, David Artin-Mazur-Milne duality for fppf cohomology, Algebra Number Theory, Volume 13 (2019) no. 10, pp. 2323-2357 | DOI | MR | Zbl

[FS02] Friedlander, Eric M.; Suslin, Andrei The spectral sequence relating algebraic $K$ -theory to motivic cohomology, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 35 (2002) no. 6, pp. 773-875 | DOI | MR | Zbl

[GA09] González-Avilés, Cristian D. Arithmetic duality theorems for 1-motives over function fields, J. reine angew. Math., Volume 632 (2009), pp. 203-231 | DOI | Zbl

[GAT09] González-Avilés, Cristian D.; Tan, Ki-Seng The generalized Cassels-Tate dual exact sequence for 1-motives, Math. Res. Lett., Volume 16 (2009) no. 5, pp. 827-839 | DOI | MR | Zbl

[God73] Godement, R. Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Hermann, Paris, 1973 | DOI | MR | Zbl

[HSS15] Harari, David; Scheiderer, Claus; Szamuely, Tamás Weak approximation for tori over $p$ -adic function fields, Internat. Math. Res. Notices (2015) no. 10, pp. 2751-2783 | DOI | MR | Zbl

[Lan56] Lang, Serge Algebraic groups over finite fields, Amer. J. Math., Volume 78 (1956), pp. 555-563 | DOI | Zbl

[Mil80] Milne, James S. Étale cohomology, Princeton Math. Series, 33, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1980 | DOI | MR | Zbl

[Mil06] Milne, James S. Arithmetic duality theorems, BookSurge, LLC, Charleston, SC, 2006 | arXiv

[NSW08] Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay Cohomology of number fields, Grundlehren Math. Wiss., 323, Springer-Verlag, Berlin, 2008 | DOI | MR | Zbl

[Ros18] Rosengarten, Zev Tamagawa numbers and other invariants of pseudo-reductive groups over global function fields, 2018 (to appear in Algebra Number Theory) | arXiv

[San81] Sansuc, J.-J. Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires sur un corps de nombres, J. reine angew. Math., Volume 327 (1981), pp. 12-80 | DOI

[Ser68] Serre, Jean-Pierre Corps locaux, Publications de l’Université de Nancago, VIII, Hermann, Paris, 1968 | Zbl

[SGA4] Artin, M.; Grothendieck, A.; Verdier, J.-L. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 3, Lect. Notes in Math., 269, 270 & 305, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1973 Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4)

[SGA3] Demazure, M.; Grothendieck, A. Schémas en groupes (SGA 3). Tome I. Propriétés générales des schémas en groupes, Documents mathématiques, 7, Société Mathématique de France, Paris, 2011, e16 (Revised and annotated edition of the 1970 original) | DOI | MR | Zbl

[Stacks] Stacks Project Authors The Stacks Project, 2019 (https://stacks.math.columbia.edu) | DOI | MR | Zbl

Cited by Sources: