[Abelian differentials with prescribed singularities]
The local invariants of a meromorphic Abelian differential on a Riemann surface of genus are the orders of zeros and poles, and the residues at the poles. The main result of this paper is that with few exceptions, every pattern of orders and residues can be obtain by an Abelian differential. These exceptions are two families in genus zero when the orders of the poles are either all simple or all nonsimple. Moreover, we even show that the pattern can be realized in each connected component of the strata. Finally we give consequences of these results in algebraic and flat geometry. The main ingredient of the proof is the flat representation of the Abelian differentials.
Les invariants locaux d’une différentielle abélienne méromorphe sur une surface de Riemann de genre sont les ordres des zéros et des pôles, et les résidus aux pôles. Le résultat principal de cet article est qu’à quelques exceptions près, chaque configuration d’ordres et de résidus peut être obtenue par une différentielle abélienne. Ces exceptions sont deux familles en genre où les ordres des pôles sont soit tous simples, soit tous non simples. De plus, nous montrons que chaque configuration de résidus peut être réalisée dans chaque composante connexe des strates. Enfin, nous donnons les conséquences de ces résultats en géométrie algébrique et plate. L’ingrédient principal de la preuve est la représentation plate des différentielles abéliennes.
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Mot clés : Différentielles abéliennes, surfaces plates, strates, résidu
Keywords: Abelian differential, flat surface, strata, residue
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Gendron, Quentin; Tahar, Guillaume. Différentielles abéliennes à singularités prescrites. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Volume 8 (2021), pp. 1397-1428. doi : 10.5802/jep.174. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jep.174/
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