Lower bounds for generalized unit regulators

Sundstrom, James

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 1, pp. 131-173.

En 1999 Friedman et Skoruppa ont introduit une méthode de minoration du régulateur relatif $\mathrm{Reg}(L/K)$ d’une extension $L/K$ de corps de nombres. Ce régulateur est défini en utilisant le sous-groupe $E_{L/K}$ des unités relatives de $L/K$. Puisque $\mathrm{Reg}(L/K)$ apparaît dans la série ${\Theta }_{E_{L/K}}$ associé à $E_{L/K}$, toute inégalité entre ${\Theta }_{E_{L/K}}$ et ${\Theta }_{E_{L/K}}^{\text{'}}$ induit une minoration de ce régulateur. On peut appliquer la même méthode à d’autres sous-groupes $E$ du groupe des unités d’un corps de nombres $L$. Dans cet article nous considérons le cas où $E=E_{L/K_1}\cap E_{L/K_2}$, où $K_1$ et $K_2$ sont des corps quadratiques réels ; Le régulateur associé croît alors exponentiellement en fonction du degré de $L$ sur $\mathbb{Q}$.

In 1999, Friedman and Skoruppa published a method to derive lower bounds for the relative regulator of an extension $L/K$ of number fields. The relative regulator is defined using the subgroup $E_{L/K}$ of relative units of $L/K$. It appears in the theta series ${\Theta }_{E_{L/K}}$ associated to $E_{L/K}$, so an inequality relating ${\Theta }_{E_{L/K}}$ and ${\Theta }_{E_{L/K}}^{\text{'}}$ provides an inequality for $Reg(L/K)$. This same technique can be applied to other subgroups $E$ of the units of a number field $L$. In this paper, we consider the case $E=E_{L/K_1}\cap E_{L/K_2}$, where $K_1$ and $K_2$ are real quadratic fields; the corresponding regulator grows exponentially in $[L:\mathbb{Q}]$.

Classification : 11R27
Mots clés : units, regulators, theta series

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