Perturbing Eisenstein polynomials over local fields

Keating, Kevin

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 2, pp. 681-694.

Soit $K$ un corps local de caractéristique résiduelle $p$ et soit $L/K$ une extension séparable finie totalement ramifiée. Soit ${\pi }_L$ une uniformisante de $L$, de polynôme minimal $f\left(X\right)$ sur $K$. Supposons que ${\tilde{\pi }}_L$ est une autre uniformisante de $L$ telle que ${\tilde{\pi }}_L\equiv {\pi }_L+r{\pi }_L^{\ell +1}(mod{\pi }_L^{\ell +2})$ pour certains $\ell \ge 1$ et $r\in {𝒪}_K$. Soit $\tilde{f}\left(X\right)$ le polynôme minimal de ${\tilde{\pi }}_L$ sur $K$. Dans cet article nous donnons des congruences pour les coefficients de $\tilde{f}\left(X\right)$ en termes de $\ell$, $r$, et les coefficients de $f\left(X\right)$. Ces congruences améliorent le travail de Krasner [8].

Let $K$ be a local field whose residue field has characteristic $p$ and let $L/K$ be a finite separable totally ramified extension. Let ${\pi }_L$ be a uniformizer for $L$ and let $f\left(X\right)$ be the minimum polynomial for ${\pi }_L$ over $K$. Suppose ${\tilde{\pi }}_L$ is another uniformizer for $L$ such that ${\tilde{\pi }}_L\equiv {\pi }_L+r{\pi }_L^{\ell +1}(mod{\pi }_L^{\ell +2})$ for some $\ell \ge 1$ and $r\in {𝒪}_K$. Let $\tilde{f}\left(X\right)$ be the minimum polynomial for ${\tilde{\pi }}_L$ over $K$. In this paper we give congruences for the coefficients of $\tilde{f}\left(X\right)$ in terms of $\ell$, $r$, and the coefficients of $f\left(X\right)$. These congruences improve work of Krasner [8].

Classification : 11S15, 11S05
Mots clés : local fields, Eisenstein polynomials, symmetric polynomials, indices of inseparability, digraphs

[1] Deligne, Pierre Les corps locaux de caractéristique $p$, limites de corps locaux de caractéristique $0$, Représentations des groups réductifs sur un corps local (Travaux en Cours), Hermann, 1984, pp. 119-157 | Zbl

[2] Fried, Michael Arithmetical properties of function fields II, The generalized Schur problem, Acta Arith., Volume 25 (1974), pp. 225-258 | DOI | MR | Zbl

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[7] Keating, Kevin Extensions of local fields and elementary symmetric polynomials, J. Théor. Nombres Bordx, Volume 30 (2018) no. 2, pp. 431-448 | DOI | MR | Zbl

[8] Krasner, Marc Sur la primitivité des corps $𝔓$-adiques, Mathematica, Volume 13 (1937), pp. 72-191 | Zbl

[9] Kulikauskas, Andrius; Remmel, Jeffrey Lyndon words and transition matrices between elementary, homogeneous and monomial symmetric functions, Electron. J. Comb., Volume 13 (2006) no. 1, R18, 30 pages (Art. ID. R18, 30 p.) | MR | Zbl

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