Les carrés dans des généralisations des suites de Lucas
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 3, pp. 693-703.

Etant donnés deux entiers P,Q, impairs, premiers entre eux et tels que P2-4Q>0, on étudie les suites (xn)n0 d’entiers positifs telles que xn+1=Pxn-Qxn-1. Elles généralisent les suites classiques de Lucas (Un(P,Q)) et (Vn(P,Q). Les propriétés des diviseurs premiers de Vn(P,Q) pour n=3·2j donnent, via le calcul des Symboles de Legendre de certains xn modulo ceux-ci, une méthode efficace de détermination des carrés (resp. doubles, triples, ... de carrés) dans une suite (xn). Ceci est appliqué aux équations Diophantiennes de la forme x4-Ey2=k, x2-Ey4=k lorsque E est la partie sans facteurs carrés d’un entier de la forme P2-4, P impair. On construit des suites (xn) contenant un carré d’indice arbitrairement grand. Et on montre comment trouver des suites (xn) contenant trois carrés.

Let P,Q be positive, relatively prime and odd integers such that P2-4Q>0. We study the sequences (xn)n0 of positive integers satisfying the recursion formula xn+1=Pxn-Qxn-1. They generalize the classical Lucas sequences (Un(P,Q)) and (Vn(P,Q)). The prime divisors of Vn(P,Q) for n=3·2j have nice properties which, through the computation of the Legendre Symbols of suitable xn’s modulo these primes, give an efficient method for trying to find all squares (also double squares, triple squares, ...) in the sequence (xn). This is applied to Diophantine equations of the form x4-Ey2=k, x2-Ey4=k when E is the squarefree part of an integer P2-4, P odd. We construct sequences (xn) containing squares with arbitrarily large indices. We also show how to find sequences (xn) containing three squares.

DOI : 10.5802/jtnb.466
Samuel, Pierre 1

1 3, Avenue du Lycée Lakanal 92340 Bourg-La-Reine
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