Small points on a multiplicative group and class number problem

Amoroso, Francesco

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 1, pp. 27-39.

Soit $V$ une sous-variété algébrique du tore ${𝔾}_m^n\hookrightarrow {\mathbb{P}}^n$ et notons $V^{*}$ le complémentaire dans $V$ de l’adhérence de Zariski de l’ensemble des points de torsion de $V$. Par un théorème de Zhang, $V^{*}$ est discrète pour la métrique induite par la hauteur normalisée $\widehat{h}$. Nous décrirons certaines versions quantitatives de ce résultat, proche des conjectures les plus précises que l’on puisse formuler, et ses applications à l’étude du groupe de classes d’idéaux de certains corps de nombres.

Let $V$ be an algebraic subvariety of a torus ${𝔾}_m^n\hookrightarrow {\mathbb{P}}^n$ and denote by $V^{*}$ the complement in $V$ of the Zariski closure of the set of torsion points of $V$. By a theorem of Zhang, $V^{*}$ is discrete for the metric induced by the normalized height $\widehat{h}$. We describe some quantitative versions of this result, close to the conjectural bounds, and we discuss some applications to study of the class group of some number fields.

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