Let denote the symmetric group with letters, and the maximal order of an element of . If the standard factorization of into primes is , we define to be ; one century ago, E. Landau proved that and that, when goes to infinity, .
There exists a basic algorithm to compute for ; its running time is and the needed memory is ; it allows computing up to, say, one million. We describe an algorithm to calculate for up to . The main idea is to use the so-called -superchampion numbers. Similar numbers, the superior highly composite numbers, were introduced by S. Ramanujan to study large values of the divisor function .
Soit le groupe symétrique sur lettres et l’ordre maximal d’un élément de . Si la factorisation en nombres premiers de est , nous définissons comme étant ; il y a un siècle, E. Landau a montré que et que, quand tend vers l’infini, .
Il existe un algorithme élémentaire pour calculer pour ; son temps d’exécution est en et la place mémoire nécessaire est en ; cela permet de calculer jusqu’à, disons, un million. Nous donnons un algorithme pour calculer pour jusqu’à . L’idée principale est de considérer les nombres dits -superchampions. Des nombres similaires, les nombres hautement composés supérieurs, ont été introduits par S. Ramanujan pour étudier les grandes valeurs de la fonction nombre de diviseurs .
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Deléglise, Marc; Nicolas, Jean-Louis; Zimmermann, Paul. Landau’s function for one million billions. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 20 (2008) no. 3, pp. 625-671. doi : 10.5802/jtnb.644. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.644/
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