Landau’s function for one million billions
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 20 (2008) no. 3, pp. 625-671.

Let 𝔖 n denote the symmetric group with n letters, and g(n) the maximal order of an element of 𝔖 n . If the standard factorization of M into primes is M=q 1 α 1 q 2 α 2 ...q k α k , we define (M) to be q 1 α 1 +q 2 α 2 +...+q k α k ; one century ago, E. Landau proved that g(n)=max (M)n M and that, when n goes to infinity, logg(n)nlog(n).

There exists a basic algorithm to compute g(n) for 1nN; its running time is 𝒪N 3/2 /logN and the needed memory is 𝒪(N); it allows computing g(n) up to, say, one million. We describe an algorithm to calculate g(n) for n up to 10 15 . The main idea is to use the so-called -superchampion numbers. Similar numbers, the superior highly composite numbers, were introduced by S. Ramanujan to study large values of the divisor function τ(n)= d|n 1.

Soit 𝔖 n le groupe symétrique sur n lettres et g(n) l’ordre maximal d’un élément de 𝔖 n . Si la factorisation en nombres premiers de M est M=q 1 α 1 q 2 α 2 ...q k α k , nous définissons (M) comme étant q 1 α 1 +q 2 α 2 +...+q k α k  ; il y a un siècle, E. Landau a montré que g(n)=max (M)n M et que, quand n tend vers l’infini, logg(n)nlog(n).

Il existe un algorithme élémentaire pour calculer g(n) pour 1nN ; son temps d’exécution est en 𝒪N 3/2 /logN et la place mémoire nécessaire est en 𝒪(N) ; cela permet de calculer g(n) jusqu’à, disons, un million. Nous donnons un algorithme pour calculer g(n) pour n jusqu’à 10 15 . L’idée principale est de considérer les nombres dits -superchampions. Des nombres similaires, les nombres hautement composés supérieurs, ont été introduits par S. Ramanujan pour étudier les grandes valeurs de la fonction nombre de diviseurs τ(n)= d|n 1.

DOI: 10.5802/jtnb.644
Keywords: Arithmetical function, symmetric group, maximal order, highly composite number.
Deléglise, Marc 1; Nicolas, Jean-Louis 1; Zimmermann, Paul 2

1 Université de Lyon, Université de Lyon 1, CNRS, Institut Camille Jordan, Bât. Doyen Jean Braconnier, 21 Avenue Claude Bernard, F-69622 Villeurbanne cedex, France.
2 Centre de Recherche INRIA Nancy Grand Est Projet CACAO -bâtiment A 615 rue du Jardin Botanique, F-54602 Villers-lès-Nancy cedex, France.
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