Sur le développement en fraction continue d’une généralisation de la cubique de Baum et Sweet

Firicel, Alina

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 22 (2010) no. 3, pp. 629-644.

On the continued fraction expansion of a generalization of the Baum and Sweet’s cubic

In 1976, Baum and Sweet gave the first example of an algebraic power series of degree $3$ over the field ${𝔽}_2\left(T\right)$ and whose continued fraction expansion has partial quotients with degree at most $2$. This power series is the unique solution in the field ${𝔽}_2\left(\left(T^{-1}\right)\right)$ at the equation $T{X}^3+X-T=0$. In 1986, Mills and Robbins described an algorithm that allows one to compute the continued fraction expansion of the Baum and Sweet power series.

In this paper, we consider the more general equations $T{X}^{r+1}+X-T=0$, where $r$ is a power of a prime number $p$. Such an equation has a unique solution in the field ${𝔽}_p\left(\left(T^{-1}\right)\right)$. Applying an approach already used by Lasjaunias, we described the continued fraction expansion of these algebraic power series.

En 1976, Baum et Sweet ont donné le premier exemple d’une série formelle algébrique de degré $3$ sur ${𝔽}_2\left(T\right)$ ayant un développement en fraction continue dont les quotients partiels sont tous des polynômes en $T$ de degré $1$ ou $2$. Cette série formelle est l’unique solution dans le corps ${𝔽}_2\left(\left(T^{-1}\right)\right)$ de l’équation $T{X}^3+X-T=0$. En 1986, Mills et Robbins ont décrit un algorithme permettant de calculer le développement en fraction continue de la série de Baum et Sweet.

Dans cet article, nous considérons les équations plus générales $T{X}^{r+1}+X-T=0$, où $r$ est une puissance du nombre premier $p$. Une équation de ce type admet une unique solution dans le corps ${𝔽}_p\left(\left(T^{-1}\right)\right)$. En appliquant une méthode déjà utilisée par Lasjaunias, nous décrivons le développement en fraction continue de ces séries algébriques.

[1] L. Baum and M. Sweet, Continued fractions of algebraic power series in characteristic 2. Annals of Math. 103 (1976), 593–610. | MR | Zbl

[2] A.Lasjaunias, A Survey of Diophantine approximation in Fields of Power Series. Monatsh. Math. 130 (2000), 211–229. | MR | Zbl

[3] A. Lasjaunias, Continued fractions for hyperquadratic power series over a finite field. Finite Fields Appl. 14 (2008), 329–350. | MR | Zbl

[4] K. Mahler, On a theorem of Liouville in fields of positive characteristic. Canadian J. Math. 1 (1949), 397–400. | MR | Zbl

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