Flows of Mellin transforms with periodic integrator

Hilberdink, Titus

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 23 (2011) no. 2, pp. 455-469.

Nous étudions les tranformées de Mellin $\widehat{N}\left(s\right)={\int }_{1-}^{\infty }{x}^{-s}dN\left(x\right)$ pour lesquelles $N\left(x\right)-x$ est périodique de période $1$ dans le but d’examiner les “flots” de telles fonctions vers la fonction $\zeta \left(s\right)$ de Riemann et la possibilité de prouver l’hypothèse de Riemann avec cette approche. Nous montrons que, à part le cas trivial $N\left(x\right)=x$, la borne supérieure des parties réelles des zéros de n’importe quelle telle fonction est au moins $\frac{1}{2}$.

Nous examinons un flot particulier de telles fonctions ${\left\{\widehat{N_{\lambda }}\right\}}_{\lambda \ge 1}$ qui converge localement uniformément vers $\zeta \left(s\right)$ quand $\lambda \to 1$, et montrons qu’elles présentent un aspect similaire à $\zeta \left(s\right)$. Par exemple, $\widehat{N_{\lambda }}\left(s\right)$ a à peu près $\frac{T}{2\pi }log\frac{T}{2\pi }-\frac{T}{2\pi }$ zéros dans la bande critique jusqu’à la hauteur $T$, et une infinité de zéros négatifs, environ aux points $\lambda -1-2n$ $(n\in \mathbb{N})$.

We study Mellin transforms $\widehat{N}\left(s\right)={\int }_{1-}^{\infty }{x}^{-s}dN\left(x\right)$ for which $N\left(x\right)-x$ is periodic with period $1$ in order to investigate ‘flows’ of such functions to Riemann’s $\zeta \left(s\right)$ and the possibility of proving the Riemann Hypothesis with such an approach. We show that, excepting the trivial case where $N\left(x\right)=x$, the supremum of the real parts of the zeros of any such function is at least $\frac{1}{2}$.

We investigate a particular flow of such functions ${\left\{\widehat{N_{\lambda }}\right\}}_{\lambda \ge 1}$ which converges locally uniformly to $\zeta \left(s\right)$ as $\lambda \to 1$, and show that they exhibit features similar to $\zeta \left(s\right)$. For example, $\widehat{N_{\lambda }}\left(s\right)$ has roughly $\frac{T}{2\pi }log\frac{T}{2\pi }-\frac{T}{2\pi }$ zeros in the critical strip up to height $T$ and an infinite number of negative zeros, roughly at the points $\lambda -1-2n$ $(n\in \mathbb{N})$.

[1] T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory. Springer, 1976. | MR | Zbl

[2] P. T. Bateman and H. G. Diamond, Analytic Number Theory. World Scientific Publishing, 2004. | MR | Zbl

[3] T. W. Hilberdink, A lower bound for the Lindelöf function associated to generalised integers. J. Number Theory 122 (2007), 336–341. | MR | Zbl

[4] T. W. Hilberdink and M. L. Lapidus, Beurling zeta functions, Generalised Primes, and Fractal Membranes. Acta Appl Math 94 (2006), 21–48. | MR | Zbl

[5] E. C. Titchmarsh, The Theory of Functions. Second edition, Oxford University Press, 1986. | MR | Zbl

[6] E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-function. Second edition, Oxford University Press, 1986. | MR | Zbl