Sur le groupe unitaire relatif à une involution d’un corps algébriquement clos

Deschamps, Bruno

doi:10.5802/jtnb.780

Sur le groupe unitaire relatif à une involution d’un corps algébriquement clos
[On the unitary group associated to an involution of an algebraically closed field]

Deschamps, Bruno ¹

¹ Département de Mathématiques de l’Université du Maine Avenue Olivier Messiaen 72085 Le Mans cedex 9.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 23 (2011) no. 3, pp. 629-644.

Abstract
Résumé

In this article, we try to see if the topological isomorphism that exists between the group $ℝ / ℤ$ and the unitary group $𝕌 = {z \in ℂ / | z | = 1}$ can be generalized to some other situations.

We show that this isomorphism exists algebraically in all situations : for a given algebraically closed field $C$ and a given involution $c$ of $C$ , the groups $𝕌 (C, c) = {z \in C / z c (z) = 1}$ and $C^{< c >} / ℤ$ are isomorphic. We then give an example of an involution $c_{0}$ of $ℂ$ which is not conjugated, in the group $Aut (ℂ)$ , to the complex conjugacy and such that $𝕌 (ℂ, c_{0})$ is isomorphic as a topological group to $ℂ^{< c_{0} >} / ℤ$ .

Dans cet article, nous tentons de généraliser à d’autres situations l’isomorphisme de groupes topologiques qui existe entre le groupe $ℝ / ℤ$ et le groupe unitaire $𝕌 = {z \in ℂ / | z | = 1}$ .

Nous montrons que cet isomorphisme existe algébriquement en toute généralité : pour tout corps algébriquement clos $C$ et toute involution $c$ de $C$ les groupes $𝕌 (C, c) = {z \in C / z c (z) = 1}$ et $C^{< c >} / ℤ$ sont isomorphes. Nous donnons ensuite un exemple d’involution $c_{0}$ de $ℂ$ qui n’est pas conjuguée, dans le groupe $Aut (ℂ)$ , à la conjugaison complexe et telle que $𝕌 (ℂ, c_{0})$ soit topologiquement isomorphe à $ℂ^{< c_{0} >} / ℤ$ .

MR Zbl

DOI: 10.5802/jtnb.780

Classification: 12E30, 12F10, 12J15

Author's affiliations:

Deschamps, Bruno ¹

¹ Département de Mathématiques de l’Université du Maine Avenue Olivier Messiaen 72085 Le Mans cedex 9.

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Deschamps, Bruno. Sur le groupe unitaire relatif à une involution d’un corps algébriquement clos. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 23 (2011) no. 3, pp. 629-644. doi : 10.5802/jtnb.780. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.780/

References
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