Nombres de Pisots, matrices primitives et bêta-conjugués

Bertrand-Mathis, Anne

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 24 (2012) no. 1, pp. 57-72.

Soit $\beta$ un nombre de Pisot ; nous montrons que pour tout entier $n$ assez grand il existe une matrice carrée à coefficients positifs ou nuls dont l’ordre est égal au degré de $\beta$ et dont ${\beta }^n$ est valeur propre.

Soit $\beta =a_1/\beta +a_2/{\beta }^2+\cdots +a_n/{\beta }^n+\cdots$ le $\beta$-développement de $\beta$ ; si $\beta$ est un nombre de Pisot, alors la suite ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$ est périodique après un certain rang $n_0$ (pour $n\ge n_0$, $a_{n+k}=a_n$) et le polynôme

$$X^{n_0+k}-(a_1{X}^{n_0+k-1}+\cdots +a_{n_0+k})-(X^{n_0}-(a_1{X}^{n_0}+\cdots +a_{n_0}))$$

est appelé polynôme de Parry. Nous montrons qu’il existe un ensemble relativement dense d’entiers $n$ tels que le polynôme minimal de ${\beta }^n$ est égal à son polynôme de Parry.

We show that given a Pisot number $\beta$, for any integer $n$ large enough, there is a nonnegative primitive square matrix whose order is equal to the degree of $\beta$, and the matrix admits ${\beta }^n$ for eingenvalue.

Let $\beta =a_1/\beta +a_2/{\beta }^2+\cdots +a_n/{\beta }^n+\cdots$ be the $\beta$-expansion of $\beta$. For any Pisot number $\beta$, the sequence ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$ is ultimately periodic i.e., for $n\ge n_0$, $a_{n+k}=a_n$, and we call Parry polynomial the polynomial

$$X^{n_0+k}-(a_1{X}^{n_0+k-1}+\cdots +a_{n_0+k})-(X^{n_0}-(a_1{X}^{n_0}+\cdots +a_{n_0})).$$

We also show that there is a relatively dense set of integers $n$ such that the minimal polynomial of ${\beta }^n$ is equal to its Parry polynomial.

Classification : 11C99, 15A18, 15A36, 15A48, 37B10
Mots clés : Primitive matrices, Pisot Numbers, numeration, symbolic dynamics.

[1] J.P. Allouche and S. Shallit, Automatic sequences. Cambridge University Press, 2003. | MR

[2] M.J. Bertin, A. Decomps, M. Grandet, M. Pathiaux and J.P. Schreiber., Pisot and Salem numbers. Birkhauser, Bale, 1992. | MR | Zbl

[3] A. Bertrand, Développements en bases de Pisot et répartition modulo 1. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, 285, No 6 (1977), A419–A421. | MR | Zbl

[4] A. Bertrand, Répartition modulo un et développements en bases de Pisot. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A, 289, No 1 (1979), 1–4. | MR | Zbl

[5] C. Frougny and J. Sakarovitch, Automatic conversion from Fibonacci representation in base phi, and a generalization. Internat. J. Algebra Comput., 9 (1999), 351–384. | MR | Zbl

[6] F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices. Vol 2, Chelsea, New-York, 1959. | Zbl

[7] G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers. Clarendon Press, Oxford, 1938.

[8] D. Lind, The entropies of topological Markov shifts and a related class of algebraic integers. Ergodic Theory and Dynamical Systems 4 (2) (1984), 283–300. | MR | Zbl

[9] W. Parry, On the $\beta -$ expansions of real numbers. Acta Math. Acad. Sci. Hung., 11 (1960), 401–416. | MR | Zbl

[10] V. Prasolov, Problèmes et Théorèmes d’Algèbre Linéaire. Cassini, Paris, 2008.

[11] A. Rényi, Representations for real numbers and their ergodic properties. Acta Math. Sci. Hungar., 8 (1957), 477-493. | MR | Zbl