Intégralité des coefficients de Taylor de racines d’applications miroir

Delaygue, Éric

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 24 (2012) no. 3, pp. 623-638.

We demonstrate the integrality of the Taylor coefficients of roots of formal power series $q\left(z\right):=zexp\left(G\right(z)/F(z\left)\right)$, where $F\left(z\right)$ and $G\left(z\right)+log\left(z\right)F\left(z\right)$ are particular solutions of certain hypergeometric differential equations. This allows us to prove a conjecture stated by Zhou in « Integrality properties of variations of Mahler measures » [arXiv:1006.2428v1 math.AG]. The proof of these results is an adaptation of the techniques used in our article: « Critère pour l’intégralité des coefficients de Taylor des applications miroir » [J. Reine Angew. Math.].

Nous démontrons l’intégralité des coefficients de Taylor de racines de séries de la forme $q\left(z\right):=zexp\left(G\right(z)/F(z\left)\right)$, où $F\left(z\right)$ et $G\left(z\right)+log\left(z\right)F\left(z\right)$ sont des solutions particulières de certaines équations différentielles hypergéométriques généralisées. Cela nous permet de démontrer une conjecture de Zhou énoncée dans « Integrality properties of variations of Mahler measures » [arXiv :1006.2428v1 math.AG]. La preuve de ces résultats est une adaptation des techniques utilisées dans notre article « Critère pour l’intégralité des coefficients de Taylor des applications miroir » [J. Reine Angew. Math.].

[1] E. Delaygue, Critère pour l’intégralité des coefficients de Taylor des applications miroir. J. Reine Angew. Math. 662 (2012), 205–252. | MR

[2] B. Dwork, On $p$-adic differential equations. IV. Generalized hypergeometric functions as $p$-adic functions in one variable. Annales scientifiques de l’E.N.S. $4^e$ série 6 (1973), 295–316. | Numdam | MR | Zbl

[3] N. Heninger, E. M. Rains et N. J. A. Sloane, On the integrality of nth roots of generating functions. J. Combin. Theory Ser. A 113 (2006), no. 8, 1732–1745. | MR | Zbl

[4] N. Koblitz, $p$-Adic Numbers, $p$-Adic Analysis, and Zeta-functions. Springer-Verlag, Heidelberg, 1977. | MR | Zbl

[5] C. Krattenthaler et T. Rivoal, On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps. Duke Math. J. 151 (2010), 175–218. | MR

[6] C. Krattenthaler et T. Rivoal, On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II. Commun. Number Theory Phys. 3.3 (2009), 555–591. | MR | Zbl

[7] E. Landau, Sur les conditions de divisibilité d’un produit de factorielles par un autre. Collected works, I, page 116. Thales-Verlag, 1985.

[8] S. Lang, Cyclotomic Fields, I, II. Combined 2nd edition, 121, Graduate Texts in Math., Springer-Verlag, New York, 1990. | MR | Zbl

[9] B. H. Lian et S. T. Yau, The nth root of the mirror map. In : Calabi-Yau varieties and mirror symmetry, Proceedings of the Workshop on Arithmetic, Geometry and Physics around Calabi-Yau Varieties and Mirror Symmetry, Toronto, ON, 2001, N. Yui and J. D. Lewis (eds.), Fields Inst. Commun. 38, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, pp. 195–199. | MR | Zbl

[10] B. H. Lian et S. T. Yau, Arithmetic properties of mirror map and quantum coupling. Comm. Math. Phys. 176 (1996), no. 1, 163–191. | MR | Zbl

[11] M. Yoshida, Fuchsian Differential Equations. Aspects of Mathematics 11, Vieweg, 1987. | MR | Zbl

[12] J. Zhou, Integrality properties of variations of Mahler measures. arXiv :1006.2428v1 [math.AG]. | MR

[13] V. V. Zudilin, Integrality of power expansions related to hypergeometric series. Mathematical Notes, vol. 71, no. 5 (2002), 604–616. | MR | Zbl