Effondrements et petites valeurs propres des formes différentielles
Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Volume 23 (2004-2005), pp. 115-124.

À courbure et diamètre bornés, les valeurs propres non nulles du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les formes différentielles d’une variété compacte ne sont pas uniformément minorées comme c’est le cas pour les fonctions, et si l’une d’elle tend vers zéro alors le volume de la variété tend aussi vers zéro, c’est-à-dire qu’elle s’effondre. On présente ici les résultats obtenus ces dernières années concernant le problème réciproque, à savoir déterminer le comportement asymptotique des premières valeurs propres d’une variété lorsqu’elle s’effondre.

DOI: 10.5802/tsg.233
Classification: 58J50,  58C40
Keywords: spin geometry, surface, energy-momentum tensor
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Jammes, Pierre. Effondrements et petites valeurs propres des formes différentielles. Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Volume 23 (2004-2005), pp. 115-124. doi : 10.5802/tsg.233. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/tsg.233/

[BBG85] P. Bérard, G. Besson et S. Gallot – «  Sur une inégalité isopérimétrique qui généralise celle de Paul Lévy-Gromov  », Inventiones Mathematicae, 80, p. 295–308, 1985. | MR | Zbl

[CC90] B. Colbois et G. Courtois – «  A note on the first non zero eigenvalue of the Laplacian acting on p-forms  », Manuscripta mathematica, 68, p. 143–160, 1990. | MR | Zbl

[CC00] B. Colbois et G. Courtois – «  Petites valeurs propres des p-formes différentielles et classe d’Euler des S 1 -fibrés  », Annales scientifiques de l’ÉNS, 33, p. 611–645, 2000. | Numdam | Zbl

[CFG92] J. Cheeger, K. Fukaya et M. Gromov – «  Nilpotent structures and invariant metrics on collapsed manifolds  », J. Am. Math. Soc., 5, p. 327–372, 1992. | MR | Zbl

[CT97] S. Chanillo et F. Trèves – «  On the lowest eigenvalue of the Hodge Laplacian  », Journal of Differential Geometry, 45 (2), p. 273–287, 1997. | MR | Zbl

[CZ95] X. Cheng et D. Zhou – «  First eigenvalue estimate on Riemannian manifolds  », Hokkaïdo Mathematical Journal, 24, p. 453–472, 1995. | MR | Zbl

[Fu87] K. Fukaya – «  Collapsing riemannian manifolds to ones with lower dimension  », Journal of Differential Geometry, 25, p. 139–156, 1987. | MR | Zbl

[Fu89] K. Fukaya – «  Collapsing riemannian manifolds to ones with lower dimension II  », J. Math. Soc. Japan, 45 (2), p. 333–356, 1989. | MR | Zbl

[Gr80] M. Gromov – «  Paul Levy’s isoperimetric inegality  », Prépublication IHÉS, 1980.

[Ja03a] P. Jammes – «  Sur le spectre des fibrés en tore qui s’effondrent  », Manuscripta mathematica, 110 (1), p. 13–31, 2003. | Zbl

[Ja03b] P. JammesSur le spectre du laplacien des fibrés en tores qui s’effondrent, Thèse de doctorat, université de Neuchâtel, déc. 2003, math.DG/0506234.

[Ja04] P. Jammes – «  Petites valeurs propres des fibrés principaux en tores  », prépublication, 2004, math.DG/0404536.

[Ja05] P. Jammes – «  Effondrement, spectre et propriétés diophantiennes des flots riemanniens  », prépublication, 2005, math.DG/0505417.

[Lo02] J. Lott – «  Collapsing and the differential form Laplacian : the case of a smooth limit space  », Duke Math. Journal, 114, p. 267–306, 2002, math.DG/9902111. | MR | Zbl

[Lo04] J. Lott – «  Remark about the spectrum of the p-form Laplacian under a collapse with curvature bounded below  », Proc. Am. Math. Soc., 132, p. 911–918, 2004, math.DG/0202196. | MR | Zbl

[LY80] P. Li et S.T. Yau – «  Estimates of eigenvalues of a compact riemannian manifold  », Proceedings Symposium on Pure Math., pages 205–239, 1980. | MR | Zbl

[Ta02] J. Takahashi – «  Small eigenvalues on p-forms for collapsings of the even-dimensional spheres  », Manuscripta mathematica, 109 (1), p. 63–71, 2002. | MR | Zbl

[Ya91] T. Yamaguchi – «  Collapsing and pinching under a lower curvature bound  », Annals of math., 133 (2), p. 317–357, 1991. | MR | Zbl

Cited by Sources: