Modélisation fluide des plasmas dans les Tokamaks

Blum, Jacques

Journées mathématiques X-UPS, Des problèmes à $N$ corps aux Tokamaks (2015), pp. 57-85.

Ce texte présente dans un premier temps les deux approches pour la modélisation d’un plasma (gaz ionisé) en présence d’un champ magnétique : l’approche microscopique basée sur les équations cinétiques (Vlasov, Boltzmann,...) et l’approche macroscopique basée sur les équations de la magnétohydrodynamique (MHD) et comment l’on passe de l’une à l’autre. Pour une machine du type Tokamak qui vise à réaliser la fusion de noyaux d’atomes légers par le principe du confinement magnétique, on montrera qu’il existe des échelles de temps allant de la microseconde (temps d’Alfven) à la seconde (temps de diffusion résistive) et que le modèle peut être simplifié en se plaçant à l’échelle de temps du phénomène qu’on se propose d’étudier. On établira ainsi le principe de l’évolution quasi-statique de l’équilibre du plasma dans un Tokamak et on montrera comment, avec des méthodes numériques appropriées, on peut reconstruire en temps réel l’équilibre du plasma à chaque instant de la décharge (lignes de flux, surfaces magnétiques, densité de courant, frontière libre du plasma,...). Ce problème rentre dans la catégorie des problèmes inverses, qui sont mal-posés au sens d’Hadamard et on montrera comment, à l’aide de techniques mathématiques de régularisation, on peut les rendre bien-posés. On pourra alors aborder le problème du contrôle de l’équilibre du plasma en temps réel, tel qu’il se pose dans chaque Tokamak, en utilisant des bases hilbertiennes associées à l’opérateur aux dérivées partielles qui régit le phénomène. Ce dispositif sera utilisé dans le Tokamak WEST en cours de montage au CEA à Cadarache, qui vise à tester le divertor en tungstène qui sera réalisé pour ITER.

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